С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

296 3. Численные методы линейной алгебрыЕсли A — симметричная положительно определённая матрица, то всилу Теоремы 3.6.4 система (3.71) обязана иметь решение, и этот алгоритмуспешно прорабатывает до конца, находя его. Если же матрицаA не является положительно определённой, то алгоритм (3.72) аварийнопрекращает работу при попытке извлечь корень из отрицательногочисла либо разделить на нуль. Вообще, запуск алгоритма (3.72) — этосамый экономичный способ проверки положительной определённостисимметричной матрицы.Метод решения СЛАУ, основанный на разложении Холесского и использующийсоотношения (3.67) и алгоритм (3.72), называют методомХолесского. Он был предложен в 1910 году А.-Л. Холесским в неопубликованнойрукописи, которая, тем не менее, сделалась широко известнойво французской геодезической службе, где решались такие системыуравнений. Позднее метод неоднократно переоткрывался, и потомуиногда в связи с ним используются также термины «метод квадратногокорня» или «метод квадратных корней», данные другими его авторами.Метод Холесского можно рассматривать как специальную модификациюметода Гаусса, которая требует вдвое меньше времени и памятиЭВМ, чем обычный метод Гаусса в общем случае. Замечательнымсвойством метода Холесского является также то, что обусловленностьмножителей Холесского, вообще говоря, является лучшей, чем у матрицыисходной СЛАУ: она равна корню квадратному из обусловленностиисходной матрицы СЛАУ (это следует из самого разложения Холесского).То есть, в отличие от обычного метода Гаусса, треугольныесистемы линейных уравнений из (3.67), к решению которых сводитсязадача, менее чувствительны к ошибкам, чем исходная линейная система.В следующем пункте мы увидим, что подобную ситуацию следуетрассматривать как весьма нетипичную.Если при реализации метода Холесского использовать комплекснуюарифметику, то извлечение квадратного корня можно выполнятьвсегда, и потому такая модификация применима к симметричным матрицам,которые не являются положительно определёнными. При этоммножители Холесского становяться комплексными треугольными матрицами.Другой популярный способ распространения идеи метода Холесскогона произвольные симметричным матрицы состоит в том, чтобы ограничитьсяразложением (3.66), которое называется LDL-разложениемматрицы. Если исходная матрица не является положительно опреде-