С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.4. Классические методы решения уравнений 457Очевидно, что из двух половин интервала, на котором функция меняетзнак, хотя бы на одной эта перемена знака обязана сохраняться.Её мы и оставляем в результате очередной итерации метода дихотомии.Рис. 4.8. Иллюстрация метода дихотомии (деления пополам)На вход алгоритму подаются функция f, принимающая на концахинтервала[a,b] значения разных знаков, и точностьǫ, с которой необходимолокализовать решение уравнения f(x) = 0. На выходе получаеминтервал [x,x] шириной не более ǫ, содержащий решение уравнения.Недостаток этого простейшего варианта метода дихотомии — возможностьпотери решений для функций, аналогичных изображеннойна Рис. 4.8. На левой половине исходного интервала функция знакане меняет, но там находятся два нуля функции. Чтобы убедиться вединственности решения или в его отсутствии, можно привлекать дополнительнуюинформацию об уравнении, к примеру, о производнойфигурирующей в нём функции. В общем случае потери нулей можноизбежать, если не отбрасывать подынтервалы, на которых доказательноне установлено отсутствие решений. Последовательная реализацияэтой идеи приводит к «методу ветвлений и отсечений», который подробнорассматривается далее в §4.8.Многомерное обобщение теоремы Больцано-Коши было опубликованоболее чем столетием позже в заметке [44]:Теорема 4.4.3 (теорема Миранды) Пустьf : R n → R n ,f(x) = ( f 1 (x),f 2 (x), ..., f n (x) ) ⊤— функция, непрерывная на брусе X ⊂ R n со сторо-