С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

104 2. Численные методы анализаx i−2 x i−1 x i x i+1 x i+2Рис. 2.11. Шаблон формулы второй разностной производной (2.65).В связи с численным дифференцированием и во многих другихвопросах вычислительной математики чрезвычайно полезно понятиешаблона (сеточной) формулы, под которым мы будем понимать совокупностьохватываемых этой формулой узлов сетки. Более точно, шаблонформулы численного дифференцирования — это множество узловсетки, входящих в правую часть этой формулы, явным образом либов качестве аргументов используемых значений функции. Например,шаблоном формулы (2.65) для вычисления второй производной на равномернойсеткеf ′′ (x i ) ≈ f i−1 −2f i +f i+1h 2являются три точки — x i−1 , x i , x i+1 (см. Рис. 2.11), в которых должныбыть заданы f i−1 , f i , f i+1 . Особенно разнообразны формы шаблонов вслучае двух и более независимых переменных.2.8б Оценка погрешностичисленного дифференцированияПусть для численного нахождения k-ой производной функции применяетсяформула численного дифференцирования Φ, имеющая шаблонΨ и использующая значения функции в узлах этого шаблона. Еслиf(x) — дифференцируемая необходимое число раз функция, такая чтоf i = f(x i ) для всех узлов x i ∈ Ψ, то какова может быть погрешностьвычисления f (k) (x) по формуле Φ? Вопрос этот можно адресовать какк целому интервалу значений аргумента, так и локально, только к тойточкеx i , которая служит аргументом левой части формулы численногодифференцирования.Если рассматриваемая формула выведена в рамках интерполяционногоподхода, то заманчивой идеей является получение ответа прямымдифференцирование полученных нами ранее выражений (2.23)и (2.24) для погрешности интерполирования. Этот путь оказываетсяочень непростым, так как применение, к примеру, выражения (2.24)