С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

480 4. Решение нелинейных уравнений и их систем4.7г Метод КравчикаПусть на брусе x ∈ IR n задана система n нелинейных уравнений cn неизвестнымиF(x) = 0,для которой требуется уточнить двусторонние границы решений. Возьмёмкакую-нибудь точку ˜x ∈ x и организуем относительно неё разложениефункции F:F(x) ∈ F(˜x)+S(x− ˜x),где S ∈ R n×n — интервальная матрица наклонов отображения F набрусе x. Если x — это точка решения системы, то0 ∈ F(˜x)+S(x− ˜x). (4.26)Но далее, в отличие от интервального метода Ньютона, мы не будемпереходить к рассмотрению интервальной линейной системы (4.27), адомножим обе части этого включения слева на точечнуюn×n-матрицу,которую нам будет удобно обозначить как (−Λ):0 ∈ −ΛF(˜x)−ΛS(x− ˜x).Добавление к обеим частям получившегося соотношения по (x − ˜x)приводит кx− ˜x ∈ −ΛF(˜x)−ΛS(x− ˜x)+(x− ˜x),что равносильноx ∈ ˜x−ΛF(˜x)+(I −ΛS)(x− ˜x),так как для неинтервального общего множителя (x − ˜x) можно воспользоватьсядистрибутивным соотношением (1.16). Наконец, если решениеx системы уравнений предполагается принадлежащим брусу x,мы можем взять интервальное расширение по x ∈ x правой части полученноговключения, придя к соотношениюx ∈ ˜x−ΛF(˜x)+(I −ΛS)(x− ˜x),Определение 4.7.4 Пусть определены некоторые правила, сопоставляющиевсякому брусу x ∈ IR n точку ˜x ∈ x и вещественную n × n-матрицу Λ и пусть также S ∈ IR n×n — интервальная матрицанаклонов отображения F : R n ⊇ D → R n на D. ОтображениеK : ID ×R → IR n ,