С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

298 3. Численные методы линейной алгебрыАналогичным образом из B = CA −1 следуетcond(AB) ≥ cond(B)/cond(A).Объединяя полученные неравенства, в целом получаем оценку{ } cond(A)cond(AB) ≥ maxcond(B) , cond(B). (3.74)cond(A)Ясно, что её правая часть не меньше 1.Неравенства (3.73)–(3.74) кажутся грубыми, но они достижимы. Всамом деле, пустьA—неособенная симметричная матрица с собственннымизначениями λ 1 , λ 2 , . . . и спектральным числом обусловленности,равным (стр. 265)cond 2 (A) = max i|λ i (A)|min i |λ i (A)| .У матрицы A 2 собственные векторы, очевидно, совпадают с собственнымивекторами матрицы A, а собственные значения равны λ 2 1, λ 2 2, . . . .Как следствие, числом обусловленности матрицы A 2 становитсяcond 2 (A) = max i(λ i (A)) 2min i (λ i (A)) 2 = max i|λ i (A)| 2min i |λ i (A)| 2 =( maxi |λ i (A)|min i |λ i (A)|и в верхней оценке (3.73) получаем равенство. Совершенно сходным образомможно показать, что для спектрального числа обусловленностиоценка (3.73) достигается также на произведениях вида A ⊤ A.Нижняя оценка (3.74) достигается, к примеру, при B = A −1 длячисел обусловлености, порождённых подчинёнными матричными нормами.Практически наиболее важной является верхняя оценка (3.73), иона показывает, в частности, что при преобразованиях и разложенияхматриц число обусловленности может существенно расти. Рассмотрим,к примеру, решение системы линейных алгебраических уравненийAx = b методом Гаусса в его матричной интерпретации. Обнуление поддиагональныхэлементов первого столбца матрицы A — это умножениеисходной СЛАУ слева на матрицу E 1 , имеющую вид (3.56), так что мыполучаем систему(E 1 A)x = E 1 b (3.75)с матрицей E 1 A, число обусловленности которой оценивается какcond(E 1 A) ≤ cond(E 1 )cond(A).) 2,