С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

172 2. Численные методы анализа— интеграл от произведения двух функций, уже встречалось нам в§2.10г. Мы могли видеть, что на пространстве L 2 [a,b] всех интегрируемыхс квадратом функций оно задаёт скалярное произведение, т. е.симметричную билинейную и положительно определённую форму. Поэтой причине утверждение Теоремы 2.13.1 часто формулируют так: длятого, чтобы квадратурная формула∫ b n∑f(x)dx ≈ c k f(x k ),aпостроенная по n узлам, имела алгебраическую степень точности (2n−1), необходимо и достаточно, чтобы эта формула была интерполяционной,а её узлыx 1 , x 2 , . . . ,x n являлись корнями полиномаω(x), которыйс единичным весом ортогонален на [a,b] любому полиному степени невыше (n−1).Доказательство. Необходимость. Пусть рассматриваемая квадратурнаяформула имеет алгебраическую степень точности (2n−1), т. е. точнана полиномах степени (2n−1). Таковым является, в частности, полиномω(x)q(x), имеющий степень не выше n + (n − 1), если степеньq(x) не превосходит (n−1). Тогда справедливо точное равенство∫ bn∑ω(x)q(x)dx = c k ω(x k )q(x k ) = 0,ak=1поскольку все ω(x k ) = 0. Так как этот результат верен для любогополинома q(x) степени не выше n − 1, то отсюда следует выполнениеусловия (2).Справедливость условия (1) следует из Теоремы 2.12.1: если построеннаяпо n узлам квадратурная формула (2.125) является точной длялюбого полинома степени не менее n−1, то она — интерполяционная.Достаточность. Пусть имеется полином ω(x) степени n, имеющий nразличных корней на интервале [a,b] и удовлетворяющий условию ортогональности(2.132) с любым полиномомq(x) степени не выше(n−1).Покажем, что интерполяционная квадратурная формула, построеннаяпо узлам x 1 , x 2 , . . . , x n , которые являются корнями ω(x), будет точнана полиномах степени 2n−1.Пусть f(x) — произвольный полином степени 2n − 1. Тогда последеления его на ω(x) получим представлениеk=1f(x) = ω(x)q(x)+r(x), (2.133)