С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

406 3. Численные методы линейной алгебрыВо-первых, это возможное неограниченное увеличение (при λ 1 > 1)или неограниченное уменьшение (при λ 1 < 1) норм векторов x (k) иx (k+1) , участвующих в нашем процессе. Разрядная сетка современныхцифровых ЭВМ, как известно, конечна и позволяет представлять числаиз ограниченного диапазона. Чтобы избежать проблем, вызванных выходомза этот диапазон («переполнением» или «исчезновением порядка»),имеет смысл нормировать x (k) . При этом наиболее удобна нормировкав евклидовой норме ‖·‖ 2 , так как тогда знаменатель отношения(3.145) сделается равным единице.Во-вторых, при выводе степенного метода мы неявно предполагали,что начальный вектор x (0) выбран так, что он имеет ненулевую проекциюна направление доминирующего собственного вектора v 1 матрицыA. В противном случае произведения любых степеней матрицы A наx (0) будут также иметь нулевые проекции на v 1 , и никакой дифференциациидлины компонент A k x (0) , на которой и основывается степеннойметод, не произойдёт. Это затруднение может быть преодолено спомощью какой-нибудь априорной информации о доминирующем собственномвекторе матрицы. Кроме того, при практической реализациистепенного метода на цифровых ЭВМ неизбежные ошибки округления,как правило, приводят к появлению ненулевых компонент в направленииv 1 , которые затем в процессе итерирования растянутся на нужнуювеличину. Но, строго говоря, это может не происходить в некоторыхисключительных случаях, и потому при ответственных вычисленияхрекомендуется многократный запуск степенного метода с различныминачальными векторами (так называемый мультистарт).В псевдокоде, представленном в Табл. 3.10, ˜λ — это приближённоедоминирующее собственное значение матрицы A, а x (k) — текущее приближениек нормированному доминирующему собственному вектору.Теорема 3.17.1 Пусть n×n-матрицаA является матрицей простойструктуры (т.е. диагонализуема) и у неё имеется простое доминирующеесобственное значение, которому соответствует один линейныйэлементарный делитель. Если начальный вектор x (0) не лежитв линейной оболочке lin{v 2 ,...,v n } собственных векторов A, которыене являются доминирующими, то степенной метод сходится.Доказательство. При сделанных нами предположениях о матрице Aона может быть представлена в видеA = VDV −1 ,