С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 349из более общей теории итерационных методов, развитой А.А. Самарскими начала которой мы излагаем в §3.12.Метод Гаусса-Зейделя был сконструирован как модификация методаЯкоби, и, казалось бы, должен работать лучше. Так оно и есть«в среднем», на случайно выбранных системах — метод Гаусса-Зейделяработает несколько быстрее, что можно показать математически строгопри определённых допущениях на систему. Но в целом ситуация нестоль однозначна. Для СЛАУ размера 3×3 и более существуют примеры,на которых метод Якоби расходится, но метод Гаусса-Зейделя сходится,так же как существуют и примеры другого свойства, когда методЯкоби сходится, а метод Гаусса-Зейделя расходится. В частности, дляметода Якоби неверна Теорема 3.9.2, и он может расходится для системлинейных уравнений с симметричными положительно-определённымиматрицами.По поводу практического применения метода Гаусса-Зейделя можносказать почти то же самое, что и о методе Якоби в §3.9д. Для решениясистем линейных алгебраических уравнений он используется в настоящеевремя нечасто, но его идея не утратила своего значения и успешноприменяется при построении различных итерационных процессов длярешения линейных и нелинейных систем уравнений.3.9ж Методы релаксацииОдим из принципов, который кладётся в основу итерационных методоврешения систем уравнений, является так называемый принципрелаксации. 23 Он понимается как специальная организация итераций,при которой на каждом шаге процесса уменьшается какая-либо величина,характеризующая погрешность решения системы.Поскольку само решение x ⋆ нам неизвестно, то оценить напрямуюпогрешность(x (k) −x ⋆ ) не представляется возможным. По этой причинео степени близости x (k) к x ⋆ судят на основании косвенных признаков,важнейшим среди которых является величина невязки решения.Невязка определяется как разность левой и правой частей уравненияпосле подстановки в него приближения к решению, и в нашем случаеэто Ax (k) −b. При этом конкретное применение принципа релаксацииможет заключаться в том, что на каждом шаге итерационного процессастремятся уменьшить абсолютные значения компонент вектора23 От латинского слова «relaxatio» — уменьшение напряжения, ослабление.