С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

268 3. Численные методы линейной алгебрыГильберта могут быть вычислены аналитически в явном виде [88]. Ониимеют целочисленные элементы, которые также очень быстро растутс размерностью.На этом фоне для матрицы Вандермонда (2.7) оценка числа обусловленности(см. [54])cond 2(V(x0 ,x 1 ,...,x n ) ) ≥ √ 2 (1+√ 2) n−1√ n+1представляется существенно более скромной. 10 Но она и не хороша,так что матрицы Вандермонда можно называть «умеренно плохобусловленными».3.5в Практическое применениечисла обусловленности матрицОценки (3.38) и (3.40) на возмущения решений систем линейных алгебраическихуравнений являются неулучшаемыми на всём множествематриц, векторов правых частей и их возмущений. Более точно, дляданной матрицы эти оценки достигаются на каких-то векторах правойчасти и возмущениях матрицы и правой части. Но «плохая обусловленность»матрицы не всегда означает высокую чувствительность решенияконкретной системы по отношению к тем или иным конкретнымвозмущениям. Если, к примеру, правая часть имеет нулевые компонентыв направлении сингулярных векторов, отвечающих наименьшимсингулярным числам матрицы системы, то решение СЛАУ зависит отвозмущений этой правой части гораздо слабее, чем показывает оценка(3.40) для спектральной нормы (см. рассуждения в §3.4). И определениетого, какова конкретно правая часть по отношению к матрицеСЛАУ — плохая или не очень — не менее трудно, чем само решениеданной системы линейных уравнений.Из сказанного должна вытекать известная осторожность и осмотрительностьпо отношению к выводам, которые делаются о практическойразрешимости и достоверности решений какой-либо системы линейныхуравнений лишь на основании того, велико или мало число обусловленностиих матрицы. Тривиальный пример: число обусловленности диагональнойматрицы может быть сколь угодно большим, но решениеСЛАУ с такими матрицами почти никаких проблем не вызывает!10 Аналогичные по смыслу, но более слабые экспонециальные оценки снизу длячисла обусловленности матрицы Вандермонда выводятся также в книге [41].