С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.6. Интервальные линейные системы уравнений 469а для модифицированного метода верна оценкапри условии h < 1 2 .‖x ⋆ −x k ‖ ≤ η h (1−√ 1−2h) k+1 , k = 0,1,2,...,Доказательство и дальнейшие результаты на эту тему можно найтив книге [17].4.6 Интервальные линейныесистемы уравненийПредметом рассмотрения настоящего пункта являются интервальныесистемы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) видаAx = b, (4.16)где A = (a ij ) — это интервальная m×n-матрица и b = (b i ) — интервальныйm-вектор.Для интервальных уравнений решения и множестварешений могут быть определены разнообразными способами (см. [37]),но ниже мы ограничимся так называемым объединённым множествомрешений для (4.16), которое образовано всевозможными решениями xточечных систем Ax = b, когда матрица A и вектор b независимо пробегаютA и b соответственно. Объединённое множество решений определяетсястрого какΞ(A,b) = {x ∈ R n | (∃A ∈ A)(∃b ∈ b)(Ax = b)}, (4.17)и ниже мы будем называть его просто множеством решений интервальнойлинейной системы (4.16), так как другие множества решенийнами не исследуются. Точное описание множества решений можетрасти экспоненциально с размерностью вектора неизвестных n, а потомуявляется практически невозможным уже при n, превосходящемнесколько десятков. С другой стороны, в большинстве реальных постановокзадач точное описание на самом деле и не нужно. На практикебывает вполне достаточно нахождения оценки для множества решений,т. е. приближенного описания, удовлетворяющего содержательномусмыслу рассматриваемой задачи.Приведём полезный технический результат, который часто используетсяв связи с исследованием и оцениванием множества решений интервальныхсистем линейных алгебраических уравнений.