С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 301Доказательство. Если A — неособенная матрица, то, как было показанопри доказательстве Теоремы 3.6.4, A ⊤ A — симметричная положительноопределённая матрица. Следовательно, существует её разложениеХолесскогоA ⊤ A = R ⊤ R,где R — правая (верхняя) треугольная матрица. При этомR, очевидно,неособенна. Тогда матрица Q := AR −1 ортогональна, посколькуQ ⊤ Q = ( AR −1) ⊤AR −1 = (R −1 ) ⊤ A ⊤ AR −1= (R −1 ) ⊤( R ⊤ R ) R −1 = ( (R −1 ) ⊤ R ⊤)( RR −1) = I.Следовательно, в целом A = QR, где определённые выше сомножителиQ и R удовлетворяют условиям теоремы.Рассмотрим теперь случай особенной матрицы A. Известно, чтолюбую особенную матрицу можно приблизить последовательностьюнеособенных. Например, это можно сделать с помощью матриц A k =A + 1 kI, начиная с достаточно больших натуральных номеров k. Приэтом собственные значения A k суть λ(A k ) = λ(A)+ 1 k, и если величина1kменьше расстояния от нуля до ближайшего ненулевого собственногозначения матрицы A, то A k неособенна.В силу уже доказанного для всех матриц из последовательности{A k } существуют QR-разложения:A k = Q k R k ,где все Q k ортогональны, а R k — правые треугольные матрицы. В качествеортогонального разложения для A можно было бы взять пределыматриц Q k и R k , если таковые существуют. Но сходятся ли куданибудьпоследовательности этих матриц при k → ∞, когда A k → A?Ответ на это вопрос может быть отрицательным, а потому приходитсядействовать более тонко, выделяя из {A k } подходящую подпоследовательность.Множество ортогональных матриц компактно, поскольку являетсязамкнутым (прообраз единичной матрицы I при непрерывном отображенииX ↦→ X ⊤ X) и ограничено (‖X‖ 2 ≤ 1). Поэтому из последовательностиортогональных матриц {Q k } можно выбрать сходящуюсяподпоследовательность {Q kl } ∞ l=1 . Ей соответствуют подпоследовательности{A kl } и {R kl }, причём первая из них также сходится, как подпоследовательностьсходящейся последовательности {A k }.