С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 345Таблица 3.5. Итерационный метод Гаусса-Зейделядля решения линейных систем уравненийk ← 0 ;выбираем начальное приближение x (0) ;DO WHILE ( метод не сошёлся )DO FOR i = 1 TO n⎛x (k+1)i ← 1 ∑i−1⎝ b i − a ij x (k+1)ja iiEND DOk ← k +1 ;END DOj=1−n∑j=i+1a ij x (k)j⎞⎠Чтобы получить для метода Гаусса-Зейделя матричное представление,перепишем его расчётные формулы в видеi∑j=1a ij x (k+1)j= −n∑j=i+1a ij x (k)j +b i ,i = 1,2,...,n.Используя введённые в §3.9д матрицы ˜L,D иŨ, на которые разлагаетсяA, можем записать эти формулы в видет. е.(D+ ˜L)x (k+1) = −Ũx(k) +b,x (k+1) = −(D + ˜L) −1 Ũx (k) +(D + ˜L) −1 b, k = 0,1,2,... . (3.103)Таким образом, метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как итерационныйметод, порождённый таким расщеплением матрицы СЛАУв виде A = G−H, что G = D + ˜L, H = −Ũ.В силу Теоремы 3.9.1 необходимым и достаточным условием сходимостиметода Гаусса-Зейделя из любого начального приближения являетсянеравенствоρ ( (D + ˜L) −1 Ũ ) < 1.