С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.12. Численное интегрирование 145совпадение результата квадратурной формулы и искомого интеграла,берут алгебраические полиномы. В этой связи полезноОпределение 2.12.1 Алгебраической степенью точности квадратурнойформулы называют наибольшую степень алгебраических полиномов,для которых эта квадратурная формула является точной.Сответственно, из двух квадратурных формул более предпочтительнойбудем считать ту, которая имеет б´ольшую алгебраическую степеньточности. Неформальным обоснованием этого критерия служиттот факт, что с помощью полиномов более высокой степени можно получатьболее точные приближения функций, как локально (с помощьюформулы Тейлора), так и глобально (к примеру, с помощью разложенияпо полиномам Чебышёва или Лежандра).Рассмотрим теперь влияние погрешностей реальных вычислений наответ, получаемый с помощью квадратурных формул. Предположим,что значения f(x k ) интегрируемой функции в узлах x k вычисляютсянеточно, с погрешностями δ k . Тогда при вычислениях по квадратурнойформуле получимn∑ ( ) ∑n n∑c k f(xk )+δ k = c k f(x k )+ c k δ k .k=0Если для всех k = 0,1,...,n знаки погрешностей δ k совпадают со знакамивесов c k , то общая абсолютная погрешность результата, полученногопо квадратурной формуле, становится равной ∑ k |c k|δ k . Следовательно,сумму модулей весов квадратурной формулы, т. е. величинуn∑|c k |,k=0нужно рассматривать как коэффициент усиления погрешности при вычисленияхс этой формулой.Если при значительном количестве узлов n мы хотим организоватьвычисления по квадратурной формуле наиболее устойчивым образом,то все весовые коэффициенты c k должны быть положительны: именнотогда при прочих равных условиях сумма модулей весов минимальна.В частности, в случае интегрирования функций, принимающих значенияодного знака, мы избегаем тогда потери точности при вычитанииблизких значений, которое могло бы случиться в формуле, где одновременноприсутствуют положительные и отрицательные веса.k=0k=0