t. II (PL 64)

lo4o BOETII VITiE ET OPP. DESGRIPTIO GALLICE ADORNATA. 1B46autres, et ce soat les moiadres. Cest sur cea nombres f^ Boece finit son premier livre de I'Arithmetiquerelatifs que sout fond^es les diff6rentes proportious.par une demonstration qui sert k prouver que tousles uombrei ini5gaux tirent leur origino des iiombresLa premifere espfeoe se nomme multiple, et c'est ^gaux. Les tables qu'il donne pour cela soiit fortd'elle que les proportions doubles, triples, quadruples,claires, et elles 6taient n6cossaires pour riutellioeuceetc., tirent leur origine. Elle consiste en un nom-d'uue uiati^ie qu'il dil luimgme fitre tris profonde.bre qni en conlient un moindre plus d'une fois sans Elles sout formees sur trois principes infaillibles, etqu'il en reste ou qu'il en manque. Boece prSrfere cettepremifere espfece aux autres par son antiquite, sonexeellence et son utilit4. II dit qu'elle est le principede cette table si celfebre de multiplioation et de divisiouattribuie h Pythagore, dont il ne peut Irop adrairerrartifice et les propri6tSs. II montre aussi commentse forme cette premifere espfece, et runiformitfeqirelle garde pour oela jusqu'a rinliDi.La seconde espfece consiste en un nombre qui eacoulieut un moindre, et en outre une partie aliquotede ce moindre. U la Domme sur-particuli6re. Si outrele moindre le plus Rrand uomlire en contient enooreqiii peuvcut servir a ausmentcr ccs tables. l-^ar leurmoyeri, on voit comment se forment toutes les proportioiiscouteuues daus les cinq especes des nombres(131) relatif:', et la manifere dout uno e?pi!oo dos cinqpr6ci!:deutes se trausformc en uue autre, par !a transpositiondes deux extrSmes, sans deplacer le nombreou le terme du milieu.Deuxieme livke. — Au commencement du secondlivre dc son Aritbmetique, qu'il appelle inlroductioaaux autres parties de ses Mathematiques, il fait voirque tous les nombres inSgaux, de quelque espfecequ'ils soient, peuvent se r6duire aux uombres 6gaux,la moiti6, comme 6, qui contient 4 plus 2, moiliS g dout ils ont tir6 leur origine. II donne pour cel.i troisde 4, ce nombre est nommfi en latin sesquialter. Sioutrele moindre il en contient (128) eucore le tiors,comme 4, qui contient 3 plus 1, tiers de 3, il rappellesesquilertius. Si outre le nombre il en oonlient encorele quart, comme 5 contient 4 plus 1, qui est laqualrifeme parlie de 4, c'est un sesquiquarius ; etainsi des autres h riufini, dont les denomiuations setireront des surplus du moindre que le plu? graudnombre contioudra avec le moiudre. Ces deux prenii6rosespfcces sont d'un grand usage pour les aocordsde la musique, comme on le verra en sonlieu.La troisifeme espfece des nombres relatifs consisteen uti nombre qui eu coutient un mnindre, et dephis quelques parties de ce moindre qui ne peuvent6tre parlies aliquotes du plus grand, c'est-a,-dire quine le peuvent diviser i5galement. Boece nomme cotteifece en latin siiperpartjens, qu'on pourrait aprfegles infaillibles. II fait voir eusuite, par dos tablesfort curieiises et fort instructives, de quels principesproofedent les proportions de la eeoonde espfice dcsnombres relatifs, et combien ces principes peuveut enavoir sous eux ; aprfes il donne d'autres tables ala faveur desquelles on decouvre comment les subdivisionsde ces proportions en produiseut d'anlrcs dela premifere espece, selon qu'on les allie. Ces tablessont fort nicessaires pour les diverses proportions quise trouveut dans les diff^rcnts accords de la musique.L'!iuteur fetablit ensuile les prinoipes de la g^onie-'rie : il parle du point (132^ de lu ligno, et de la superficie,dont il donne les dcfiuitious ; ensuite ilprouve que le triangle est l'origine de loules les figurespknes rectilignes, et enseigue la methode dont seforment les triangle?, par le nioyen des nombres misdans leur ordre naturel et additiouuiSs conformSnientpeier en frangais subdivisante. Eilo regoit autant do p aux rfeglcs qu'il proscrit. II remarque qu'il y audiff^rentes d6nominations que les surplus du moiudre taut d'uuit^s Jans ohaque o6te d'un Iriangle 6quilat6-nombre qu'elle contient sont diffi^rents. Si outre le ral qu'il y en a dans le iiombre deruier qui a servi h.moiudre nombre le plus grand eu ooutieut euoore sa formation. Cest ce qu'on pout voir dans les figureales deux tiers, il est uommS sujjerbipnrtiens: tel est lenombre 5 par rapport 4 3, le 5 conteaaut (129) toutle 3 plus les deux tiers de 3, savoir2, qui ne peuventdiviser 6galement le 5. Si le plusgrand uombra outrele moiudre en contient les trois qu.irts, il s'appellerasuperlriparliens : tel est le nombre T ;'ar rapport k 4,et ainsi des autres a rinfini.La quatrifeme esp6ce participe des deux premi^res,et cUe est nommfee par rauteur multiple surparticulifire:elle n'est autre qu'im grand nombre qui encoutient plusieurs fois un moindre, et de plus unedes parties de ce moindre, soitla nioiti^, soit le tierstel est le nombre 5 par rapport au nombre 2, qu'ilcontieut deux fois plus une moiti^ du 2. Gette espfecefois plus 12, qui sont les trois quarts de 16. L'auleurenseigne la manifere dont se forment oes diff6-rentes espfeces, et donnc des tables pour la faire comprendreplus aisSment ; il y marque leurs proprietis.II oppose h ces cinq espeees des grands nombres infigauxcinq especes de nombres moindres pareillementiui5gaux, qu'iis contit nncnt et qui leur sont correlat;f^,auxquels il douue dcs nouis qui marquent lenrinf^rioritfe ;par exemple, sous-multlples, sous-surparticuliire,etc.Patkol.LXIV.qu'il a trac^cs pour ce sujet.Aprfis les triangles, il parle des figures et dos nombrescarrfis, et fait voir la manifere unilorme dontils se forment, par le moyen des nombres impairspos6s dans leur ordre naturel, et remarque quechaque 0(5l6 d'un carrii a autant de nombres qu'ilest eiitr^ de termes dans la formation des cubes etdes figures polygones. Les tables qu'il a composfiospour cela convainquent et satisfout ^galement l'esprit. II parle ensuite des nombres circulaires et sphfiriques,doat il donne une table ou l'on voit commeles nombres 5 et 6, en se multipliant eux-nifimes, oumultipliant leurs produits, finissent toujours par 5ou par 6.recoit autant de diffiSrentes dfinominations que les (133) L'auteur, apr^s avoir averti que les trianglessurplus sont differents, et que la quantit6 des moin- n sont les principes des figures planes, prouve que lesdres nombres qu'elle conlient est diversefigures pyramidales sont les principes des Cgures so-La oinquifeme espfeoe participe de la premiSre et detroisi6me, et oa pourrait la nommer multiplelasubdivisante. Elle consiste ea un plus grand nombrequi en contient un moiudre pliisieurs fois, et outrequelques-uaes de ses parties, ou les deux tiers ou lestroisquarts, et ainsi du reste : tel est le (130) nombre et de diverses autres figures qui approohont de la cubique.24 par rapport au nombre 9, tel est le nombre44 par rapport au nombre 16, qu'il contient deuxlides, et qu'elles multiplient leurs triangles a proportiondes diffSrentes bases qui les souliennent. Hdonae des tables pour faire oomprendre comaiont cesfigures se forment par les nombres d'une maniSreuniforme ; il parle ensuite des pyramides trcnquSes11 dit aprfes que les carr^s longs se forment en 6tantd'un carr§ sa raciiie, ou en la lui ajoutanl, et dounedes tables fort utiles pour montrer que, dcs nombrescarres et carrfis longs, les premiers impairs, et lesseconds pairs, il se forme diverses proportions, etmeme diversos figures, dont la triaagulaire est le principe.U prouve de plus que, si on entremfile de sulteces nombres carrfis et carriis longs, et qu'oa les comporouiulucllemout, ils se trouveront d'un c6te ^gauxpour la propmtion et dissemblables pour la dilTerence.49