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AVANCE
PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN
ix
508 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
40. Cálculo de un ángulo Una torre de agua de 30 m de alto
se localiza en la cima de una colina. Desde una distancia de
120 m colina abajo, se observa que el ángulo entre la parte
superior y la base de la torre es de 8. Encuentre el ángulo
de inclinación de la colina.
m
burbujas (véase la figura). También, los ángulos ACB y ACD
miden cada uno 60.
a) Muestre que el radio r de la cara común está dado por
r
ab
a b
[Sugerencia: use la ley de los senos junto con el hecho
de que un ángulo u y su complemento 180u tienen el
mismo seno.]
b) Encuentre el radio de la cara común si los radios de las
burbujas son 4 y 3 cm.
c) ¿Qué forma toma la cara común si las dos burbujas
tienen radios iguales?
41. Distancias a Venus La elongación de un planeta es
el ángulo que forman el planeta, la Tierra y el Sol (véase
la figura). Se sabe que la distancia del Sol a Venus es de
0.723 UA (véase el ejercicio 65 de la sección 6.2). En
cierto momento se encuentra que la elongación de Venus
es de 39.4. Encuentre las distancias posibles de la Tierra a
Venus en ese momento en unidades astronómicas (UA).
Venus
Venus 1 UA
å
Tierra
42. Burbujas de jabón Cuando dos burbujas se adhieren en
el aire, su superficie común es parte de una esfera cuyo centro
D yace sobre una línea que pasa por los centros de las
C
r
D
Descubrimiento • Debate
43. Número de soluciones en el caso ambiguo Se ha visto
que al usar la ley de los senos para resolver un triángulo
en el caso LLA, puede haber dos soluciones, una o ninguna.
Bosqueje triángulos como los de la figura 6 para comprobar
los criterios de la tabla para varias soluciones si se tiene
A y los lados a y b.
Criterio Número de soluciones
a b 1
b a b sen A 2
a b sen A 1
a b sen A 0
Si A 30 y b 100, use estos criterios para hallar el
intervalo de valores de a para los cuales el triángulo ABC
tiene dos soluciones, una solución o ninguna.
Si usted está enseñando trigonometría a partir del enfoque
del triángulo rectángulo (capítulo 6) o con el sistema del
círculo unitario (capítulo 5), Precálculo proporciona una
solución flexible. Los capítulos sobre trigonometría de este
libro están escritos de modo que se pueda analizar primero
cualquier enfoque. Cada método está acompañado de
aplicaciones adecuadas, que aclaran la razón de los diferentes
enfoques de la trigonometría. En el caso de esta
quinta edición, el capítulo 7, Trigonometría analítica, se ha
acortado, y el material adicional se pasó a un capítulo 8
nuevo y estructurado más lógicamente, Coordenadas
polares y vectores.
6.5 Ley de los cosenos
La ley de los senos no se puede usar de manera directa para resolver triángulos si
se conocen dos lados y el ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados (éstos
son los casos 3 y 4 de la sección anterior). En estos dos casos, se aplica la ley de
los cosenos.
Cada uno de los grupos de ejercicios termina con
preguntas sobre Descubrimiento•Debate que estimulan
a los estudiantes a experimentar con los conceptos
desarrollados en esa sección. Estas preguntas se
pueden resolver por grupos y ayudan a que el estudiante
aprenda a comunicar el pensamiento matemático
por medio de la escritura.
‘ Mi propósito al enseñar
los conceptos matemáticos
necesarios para comprender
el cálculo infinitesimal es
conformar las bases algebraicas
y las habilidades para manejar
la trigonometría . . . [Precálculo]
me ayuda ciertamente
a lograr esta meta.
Jude T. Socrates,
Pasadena City College
‘ ‘
Gregory D. Dimijian M.D.
6.1 Medida angular
6.2 Trigonometría de ángulos rectos
6.3 Funciones trigonométricas de ángulos
6.4 Ley de los senos
6.5 Ley de los cosenos
Esquema del capítulo
Las funciones trigonométricas se pueden definir de dos maneras distintas pero equivalentes:
como funciones de números reales (capítulo 5) o como funciones de ángulos
(capítulo 6). Los dos enfoques a la trigonometría son independientes entre sí, así
que se puede estudiar primero el capítulo 5 o el capítulo 6. Se estudian ambos métodos
porque distintas aplicaciones requieren que sean consideradas desde un punto de
vista distinto. El enfoque en este capítulo lleva a problemas geométricos en los que
se requiere hallar ángulos y distancias.
Suponga que se quiere hallar la distancia al Sol. Usar una cinta métrica es por supuesto
impráctico, así que se necesita algo más que la medición simple para enfrentar
este problema. Los ángulos son fáciles de medir; por ejemplo, se puede hallar el
ángulo formado entre el Sol, la Tierra y la Luna apuntando simplemente al Sol con un
brazo y a la Luna con el otro y estimar el ángulo entre ellos. La idea clave es hallar
una relación entre ángulos y distancias. Así que si se tiene una manera de determinar
distancias a partir de ángulos, se podría hallar la distancia al Sol sin ir allá. Las
funciones trigonométricas proporcionan las herramientas necesarias.
Si ABC es un ángulo recto con ángulo agudo u como en la figura, entonces se define
sen u como la relación y/r. El triángulo ABC es similar al triángulo ABC, por lo tanto
y
r y r
Aunque las distancias y y r son diferentes de y y r, la relación dada es la misma. Así,
en cualquier ángulo recto con ángulo agudo u, la relación del ángulo opuesto u a la
hipotenusa es la misma y se llama sen u. Las otras relaciones trigonométricas se definen
de manera similar.
C'
A
r
¨
x
C
y
B
A'
¨
En este capítulo se aprende cómo se pueden usar las funciones trigonométricas
para medir distancias sobre la tierra y el espacio. En los ejercicios 61 y 62 de la
página 487, se determina en realidad la distancia al Sol por medio de trigonometría.
r'
x'
y'
B'
467