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356 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
Se puede escribir la fórmula de cambio
de base como
1
log b x a
log a b b log a x
Por consiguiente, log b x es sólo un
múltiplo constante de log a x; la constante
es .
1
log a b
Fórmula de cambio de base
log b x log a x
log a b
En particular, si x a, entonces log a a 1 y esta fórmula se convierte en
log b a 1
log a b
Ahora se puede evaluar un logaritmo para cualquier base usando la fórmula del
cambio de base para expresar el logaritmo en términos de logaritmos comunes o logaritmos
naturales y luego usar una calculadora.
Se obtiene la misma respuesta si se usa
log 10 o ln:
2
0 36
_1
Figura 1
log 8 5 ln 5
ln 8 0.77398
f1x2 log 6 x ln x
ln 6
Ejemplo 6
Evaluar logaritmos con la fórmula
de cambio de base
Use la fórmula de cambio de base y logaritmos comunes o naturales para evaluar
cada logaritmo, correcto hasta cinco decimales.
a) log 8 5 b) log 9 20
Solución
a) Se usa la fórmula de cambio de base con b 8 y a 10:
b) Se usa la fórmula de cambio de base con b 9 y a e:
Ejemplo 7
log 8 5 log 10 5
log 10 8 0.77398
log 9 20
ln 20
ln 9 1.36342
Usar la fórmula de cambio de base para graficar
una función logarítmica
Use una calculadora de graficación para graficar f1x2 log 6 x.
Solución Las calculadoras no tienen una tecla para log 6 , así que se usa la
fórmula de cambio de base para escribir
f1x2 log 6 x ln x
ln 6
Puesto que las calculadoras tienen una tecla LN se puede introducir esta nueva
forma de la función y graficarla. La gráfica se muestra en la figura 1.
■
■
4.3 Ejercicios
1–12 ■ Evalúe la expresión.
1. log 3 127
2. log 2 160 log 2 5
1
3. log 4 log 25 4. log
11000
5. log 4 192 log 4 3 6. log 12 9 log 12 16
7. log 2 6 log 2 15 log 2 20
8. log 3 100 log 3 18 log 3 50