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868 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
Podemos usar esta hipótesis para demostrar que P1k 12 es verdadera.
1a b2 k1 1a b231a b2 k 4
1a b2 ca k 0 b ak a k 1 b ak1 b a k 2 b ak2 b 2 . . . k
a
k 1 b abk1 a k k b bk d
a ca k 0 b ak a k 1 b ak1 b a k 2 b ak2 b 2 . . . k
a
k 1 b abk1 a k k b bk d
b ca k 0 b ak a k 1 b ak1 b a k 2 b ak2 b 2 . . . k
a
k 1 b abk1 a k k b bk d
a k 0 b ak1 a k 1 b ak b a k 2 b ak1 b 2 . . . k
a
k 1 b a2 b k1 a k k b abk
a k 0 b ak b a k 1 b ak1 b 2 a k 2 b ak2 b 3 . . . k
a
k 1 b abk a k k b bk1
Hipótesis de
inducción
Propiedad
distributiva
Propiedad
distributiva
a k 0 b ak1 ca k 0 b a k 1 bdak b ca k 1 b a k 2 bdak1 b 2
. . . k
ca
k 1 b a k k bdabk a k k b bk1
Agrupación por
términos
semejantes
1a b2 k1 a k 1
0
Al utilizar la propiedad clave de los coeficientes binomiales podemos
escribir cada una de las expresiones en paréntesis cuadrados como un
simple coeficiente de un binomio. Asimismo, al escribir el primero y el último
coeficientes como
k1 k1
( )y ( )(son iguales a 1 según el ejercicio 46)
tenemos
b a k1 a k 1
1
b a k b a k 1
2
0
k1
b a k1 b 2 . . . a k 1 b ab k a k 1
k
k 1 b bk1
Pero esta última expresión es precisamente P1k 12, y esto completa el
paso de inducción.
Después de demostrar los pasos 1 y 2, concluimos de acuerdo con el principio de
inducción matemática que el teorema se cumple para todos los números naturales n. ■
11.6 Ejercicios
1–12 ■ Aplique el triángulo de Pascal para el desarrollo de la
expresión.
4. 1x y2 5 5. 1x 12 5 6. A 1a 1bB 6
1. 1x y2 6 2. 12x 12 4 3. a x 1 4
x b
7. 1x 2 y 12 5 8. A1 12B 6 9. 12x 3y2 3
10. 11. 12. a 2 x 5
a 1 5
11 x 3 2 3 x 1x b 2 b
13–20 ■ Evalúe la expresión.
13. a 6 14. a 8 15. a 100
4 b
3 b
98 b
16. a 10 17. a 3 18. a 5 5 b 1 ba4 2 b
2 ba5 3 b
19. a 5 0 b a 5 1 b a 5 2 b a 5 3 b a 5 4 b a 5 5 b