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490 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
y
O
¨
P'(x', y')
P(x, y)
Q Q'
x
Puesto que la división entre 0 no es una operación definida, ciertas funciones trigonométricas
no están definidas para ciertos ángulos. Por ejemplo, tan 90 y/x no
está definida porque x 0. Los ángulos para los que podrían no estar definidas las
funciones trigonométricas son los ángulos para los que la coordenada x o y de un
punto en el lado terminal del ángulo es 0. Estos son los ángulos de un cuadrante,
ángulos que son coterminales con los ejes coordenados.
Es un hecho crucial que los valores de las funciones trigonométricas no dependen de
la elección del punto P1x, y2. Esto es porque si P1x, y2 es cualquier otro punto sobre el
lado terminal, como en la figura 3, entonces los triángulos POQ y POQ son similares.
Figura 3
El siguiente dispositivo nemotécnico se
puede usar para recordar qué funciones
trigonométricas son positivas en cada cuadrante:
todas, seno, tangente o coseno.
Seno
y
Todas
Evaluación de funciones trigonométricas
a cualquier ángulo
De la definición se puede observar que los valores de las funciones trigonométricas son
todos positivos si el ángulo u tiene su lado terminal en el cuadrante I. Esto es porque x y
y son positivos en este cuadrante. [Por supuesto, r es positivo siempre, puesto que es simplemente
la distancia del origen al punto P1x, y2.] Sin embargo, si el lado terminal de u
está en el cuadrante II, entonces x es negativa y y es positiva. Así, en el cuadrante II las
funciones sen u csc u son positivas, y las otras funciones trigonométricas tienen valores
negativos. Se pueden comprobar los otros elementos de la tabla siguiente.
TangenteT
Coseno
Esto se puede recordar como “Todas las
Señoritas Toman Cálculo”.
_x
(_x, y)
r
y
y
135*
r
45*
0 x
x
(x, y)
x
Signos de las funciones trigonométricas
Cuadrante Funciones positivas Funciones negativas
I todas ninguna
II sen, csc cos, sec, tan, cot
III tan, cot sen, csc, cos, sec
IV cos, sec sen, csc, tan, cot
Ahora dirigiremos la atención a hallar los valores de las funciones trigonométricas
para ángulos que no son agudos.
Figura 4
Ejemplo 1
Hallar las funciones trigonométricas de ángulos
Hallar a) cos 135 y b) tan 390.
y
y
390*
0
30*
(x, y)
x
x
Solución
a) De la figura 4 se puede observar que cos 135x/r. Pero cos 45x/r y,
puesto que cos 45° 12/2, se tiene
12
cos 135 °
2
b) Los ángulos 390 y 30 son coterminales. De la figura 5 es claro que
tan 390tan 30 y, puesto que tan 30 ° 13/3, se tiene
Figura 5
tan 390° 13
3
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