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646 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Solución Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 3 para preparar
la resta de las ecuaciones a fin de eliminar x. Las nuevas ecuaciones son
y
1
0
t = 4
1
(t, 1
2 t-2)
x
12x 24y 48 4 ecuación 1
e
12x 24y 48 3 ecuación 2
Se puede observar que las dos ecuaciones en el sistema original son simplemente
modos distintos de expresar la ecuación de una sola recta. Las coordenadas de cualquier
punto en esta recta son una solución del sistema. Al escribir la ecuación en la
forma de ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen, tenemos
y 1 2 x 2 . Entonces, si t representa cualquier número real, se puede escribir
la solución como
x t
t = 1
y 1 2 t 2
Asimismo, se puede escribir la solución en la forma de par ordenado como
Figura 4
1t, 1 2 t 22
donde t es cualquier número real. El sistema tiene una cantidad infinita de soluciones
(véase la figura 4).
■
En el ejemplo 3, para llegar a soluciones específicas tenemos que asignar valores
3
a t. Por ejemplo, si t 1, se obtiene la solución A1, 2B. Si t 4, se obtiene la solución
14, 02. Para cada valor de t tenemos una solución diferente. (Véase la figura 4.)
Modelado con sistemas lineales
Con frecuencia, cuando se utilizan ecuaciones para resolver problemas relacionados
con la ciencia o con otros campos, se obtienen sistemas como los que hemos
estudiado. Cuando se modela con sistemas de ecuaciones, se usan los criterios siguientes,
similares a los de la sección 1.6.
Criterios para modelar con sistemas de ecuaciones
1. Identificar las variables. Identifique las cantidades que el problema pide
determinar. Por lo regular, se determinan mediante una lectura cuidadosa de
las preguntas planteadas al final del problema. Introduzca la notación para las
variables: nómbrelas x y y u otras letras.
2. Expresar todas las cantidades desconocidas en función de las variables.
Lea el problema una vez más y exprese todas las cantidades mencionadas
en el problema en función de las variables que definió en el paso 1.
3. Plantear un sistema de ecuaciones. Encuentre los hechos decisivos
en el problema que dan las relaciones entre las expresiones que determinó en
el paso 2. Plantee un sistema de ecuaciones, o modelo, que exprese estas
relaciones.
4. Resolver el sistema e interpretar los resultados. Resuelva el sistema
que encontró en el paso 3, compruebe sus soluciones y dé la respuesta
final en la forma de una oración que responda a la pregunta planteada en el
problema.
Los dos ejemplos siguientes ilustran cómo modelar sistemas de ecuaciones.