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748 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
Para obtener la gráfica de la parábola, se grafican ambas funciones
como se ilustra en la figura 5b).
y 16x y y 16x
Arquímedes (287-212 a.C.) fue el
más grande matemático del mundo
antiguo. Nació en Siracusa, una colonia
griega en Sicilia, una generación
después de Euclides (véase la
página 532). Uno de sus muchos
descubrimientos es la ley de la
palanca (véase la página 69). Es
famoso por su dicho: “dame un punto
de apoyo y moveré la Tierra”.
Renombrado como un genio
mecánico por sus muchos inventos
de ingeniería, diseñó poleas para
levantar pesadas naves y el tornillo
sinfín para transportar agua a niveles
superiores. Se dice que usó
espejos parabólicos con el fin de
concentrar los rayos del Sol y así
encender las naves romanas que
atacaban Siracusa.
El rey Hieron II de Siracusa
sospechaba que un joyero se quedaba
con parte del oro destinado a
la corona del rey y lo sustituía con
una cantidad igual de plata. El rey
pidió a Arquímedes un consejo.
Mientras meditaba sobre el asunto
en un baño público, Arquímedes
descubrió la solución al problema
del rey cuando notó que el volumen
de su cuerpo era el mismo que
el volumen del agua desplazada de
la tina. Según la historia, corrió a
casa desnudo, gritando “¡eureka!,
¡eureka!” (“¡la hallé!, ¡la hallé!”)
Este incidente atestigua su enorme
poder de concentración.
A pesar de sus proezas de ingeniería,
Arquímedes estaba más
orgulloso de sus desubrimientos
matemáticos. Estos incluyen las
Figura 5
6x+¥=0
3
F !_ 2 , 0@
y
0
a)
1
1
3
x= 2
x
La ecuación y 2 4px no define a y como una función de x (véase la página 164).
Por lo tanto, a fin de usar una calculadora para graficar una parábola con eje horizontal,
primero se debe despejar y. Esto conduce a dos funciones, y 14px y
y 14px. Necesitamos graficar ambas funciones para obtener completa la gráfica
de la parábola. Por ejemplo, en la figura 5b) tuvimos que gráficar a y 16x y a
y 16x para graficar la parábola y 2 6x.
Se pueden usar las coordenadas del foco para estimar la “amplitud” de una parábola
al bosquejar su gráfica. El segmento de recta que pasa por el foco perpendicular
al eje, con puntos finales en la parábola, se llama lado recto, y su longitud es el
diámetro focal de la parábola. De la figura 6 se puede observar que la distancia de
un punto final Q del lado recto a la directriz es 0 2p 0 . Así, la distancia de Q al foco debe
ser 0 2p 0 también (por la definición de una parábola) y, por lo tanto, la distancia
focal es 0 4p 0 . En el ejemplo siguiente se usa el diámetro focal para determinar la
“amplitud” de una parábola al graficarla.
y
p
0
p
_6
Q
2p
F( p, 0)
x
lado
recto
y = –6x
y = – –6x
b)
6
_6
2
■
(continúa)
Figura 6
x=_p