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610 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
y
b) Sea 1x, y2 el punto terminal de v. Entonces,
w
8x 2, y 49 83, 79
4
w
0
Figura 9
w
2
w
x
Por lo tanto x 2 3yy 4 7ox 5yy 11. El punto terminal es 15, 112
c) Las representaciones del vector w se bosquejan en la figura 9. ■
Ahora se dan las definiciones analíticas de las distintas operaciones en vectores
que se han descrito en forma geométrica. Se comienza con la igualdad de vectores.
Se dice que dos vectores son iguales si tienen igual magnitud y la misma dirección.
Para los vectores u a 1 , b 1 y v a 2 , b 2 , esto significa que a 1 a 2 y b 1 b 2 . En
otras palabras, dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes
son iguales. Así, las flechas de la figura 7b) representan el mismo vector, como
las flechas de la figura 9.
Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo de la figura 10, se obtiene la siguiente
fórmula para la magnitud de un vector.
y
Magnitud de un vector
v= a, b
b
La magnitud o longitud de un vector v a, b es
0 v 0 2a 2 b 2
a
0
x
|v|=œ∑∑∑∑∑∑ a+b
Figura 10
Ejemplo 2 Magnitudes de vectores
Encuentre la magnitud de cada vector.
3 4
a) u 2, 3 b) v 5, 0 c) w 5
Solución
a) 0 u 0 22 2 132 2 113
5,
b)
0 v 0 25 2 0 2 125 5
c) 0 w 0 3 A3 5B 2 A 4 5B 2 3 9 25 16
25 1
■
Las siguientes definiciones de suma, resta y multiplicación por un escalar de vectores
corresponden a las descripciones geométricas antes dadas. En la figura 11 se
muestra cómo la definición analítica de suma corresponde a la geométrica.
u+v
v
b¤
Operaciones algebraicas en vectores
Si u a 1 , b 1 y v a 2 , b 2 , entonces
Figura 11
u
a⁄
a¤
b⁄
u v 8a 1 a 2 , b 1 b 2 9
u v 8a 1 a 2 , b 1 b 2 9
cu 8ca 1 , cb 1 , c