7nxQnvJSe

SECCIÓN 3.1 Funciones polinomiales y sus gráficas 255
y
P(b)
y=P(x)
Para hallar los ceros de un polinomio P, se factoriza y luego se usa la propiedad
del producto nulo (véase la página 47). Por ejemplo, para hallar los ceros de
P1x2 x 2 x 6, se factoriza P para obtener
P1x2 1x 221x 32
De esta forma factorizada se puede observar fácilmente que
1. 2 es un cero de P.
2. x 2 es una solución de la ecuación x 2 x 6 0.
3. x 2 es un factor de x 2 x 6.
4. x 2 es una intersección en x de la gráfica de P.
Los mismos hechos son ciertos para el otro cero, 3.
El siguiente teorema tiene muchas consecuencias importantes. (Véase, por ejemplo,
el Proyecto de descubrimiento de la página 283.) Aquí se emplea como ayuda
para graficar funciones polinomiales.
a
0 c b x
P(a)
Teorema del valor intermedio para polinomios
Si P es una función polinomial y P1a2 y P1b2 tienen signos opuestos, entonces
existe por lo menos un valor c entre a y b para el cual P1c2 0.
Figura 6
No se demostrará este teorema, pero en la figura 6 se muestra por qué es intuitivamente
plausible.
Una consecuencia importante de este teorema es que entre dos ceros sucesivos
cualesquiera, los valores de un polinomio son todos positivos o negativos. Es decir,
entre dos ceros sucesivos la gráfica de un polinomio yace por completo arriba o
abajo del eje x. Para ver por qué, suponga que c 1 y c 2 son ceros sucesivos de P. Si P
tiene ambos valores positivos y negativos entre c 1 y c 2 , entonces por el teorema del
valor intermedio P debe tener un cero entre c 1 y c 2 . Pero eso no es posible porque c 1
y c 2 son ceros sucesivos. Esta observación permite usar las siguientes normas para
graficar polinomios.
Normas para graficar funciones polinomiales
1. Ceros. Factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales; estos son
las intersecciones con el eje x de la gráfica.
2. Puntos de prueba. Construir una tabla de valores para el polinomio.
Incluir los puntos de prueba para determinar si la gráfica del polinomio yace
arriba o abajo del eje x en los intervalos determinados por ceros. Incluya
la intersección y en la tabla.
3. Comportamiento extremo. Determine el comportamiento extremo del
polinomio.
4. Gráfica. Trace las intersecciones y otros puntos que encontró en la tabla.
Bosqueje una curva lisa que pase por estos puntos y exhiba el comportamiento
extremo requerido