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5.1 Círculo unitario
5.2 Funciones trigonométricas de números reales
5.3 Gráficas trigonométricas
5.4 Más gráficas trigonométricas
5.5 Modelado del movimiento armónico
Esquema del capítulo
En este capítulo y en el siguiente presentaremos nuevas funciones llamadas funciones
trigonométricas. Las funciones trigonométricas se pueden definir de dos maneras
distintas, pero equivalentes —como funciones de ángulos (capítulo 6) o funciones de
números reales (capítulo 5)—. Los dos enfoques de la trigonometría son independientes
entre sí, de modo que cualquiera de los capítulos 5 o 6 se puede estudiar
primero. Tratamos ambos enfoques porque las diferentes aplicaciones requieren que
estudiemos estas funciones de manera distinta. El enfoque de este capítulo se presta
particularmente al modelado del movimiento periódico.
Si usted se ha subido a una rueda de la fortuna, entonces ya conoce el movimiento
periódico —es decir, el movimiento que se repite una y otra vez—. Este tipo de
movimiento es común en la naturaleza. Piense en la salida y en la puesta diarias del
Sol (día, noche, día noche, . . .), la variación diaria en los niveles de las mareas (alta,
baja, alta, baja, . . .), las vibraciones de una hoja en el viento (izquierda, derecha, izquierda,
derecha, . . .), o bien, la presión en los cilindros del motor de un automóvil
(alta, baja, alta, baja, . . .). Para poder describir tal movimiento desde el punto de vista
de las matemáticas necesitamos una función cuyos valores aumenten, luego disminuyan,
luego se incrementen, . . . , y que se repita este patrón indefinidamente. Para entender
cómo definir tal función, veamos la rueda de la fortuna otra vez. Una persona
que vaya en la rueda sube y baja, sube y baja, . . . . La gráfica muestra qué tan alto está
la persona por arriba del centro de la rueda de la fortuna en el tiempo t. Observe
que mientras la rueda gira la gráfica sube y baja en forma repetida.
y
t
t
Robin Smith/Stone/Getty Images
Definimos la función trigonométrica seno de manera similar. Empezamos con un
círculo de radio 1, y para cada distancia t a lo largo del arco del círculo que termina
en 1x, y2 definimos el valor de la función sen t como la altura, o bien, la coordenada y,
de ese punto. Para aplicar esta función a situaciones del mundo cotidiano aplicamos
las transformaciones que aprendimos en el capítulo 2 para acortar, ampliar o desplazar
la función con el fin de ajustar la variación que estamos modelando.
Hay seis funciones trigonométricas, cada una con propiedades especiales. En este
capítulo estudiamos sus definiciones, gráficas y aplicaciones. En la sección 5.5, vemos
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