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706 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Solución
det1A2 †
2 3 1
2 4
0 2 4 † 2 `
5 6 ` 3 ` 0 4
2 6 ` 112 ` 0 2
2 5 `
2 5 6
212 # 6 4 # 52 330 # 6 41224 30 # 5 21224
16 24 4
44
■
En la definición de determinante usamos sólo los cofactores de los elementos del
primer renglón. Este procedimiento se denomina expansión del determinante a
partir del primer renglón. En efecto, podemos expandir el determinante a partir de
cualquier renglón o columna, y obtener el mismo resultado en cada caso (aunque no
lo demostraríamos). El ejemplo siguiente ilustra este principio.
Ejemplo 3
Expansión de un determinante con respecto
a un renglón y a una columna
Sea A la matriz del ejemplo 2. Evalúe el determinante de A expandiendo
a) a partir del segundo renglón
b) a partir de la tercera columna.
Verifique que cada expansión dé el mismo valor.
Solución
a) Al expandir a partir del segundo renglón tenemos
det1A2 †
2 3 1
3 1
0 2 4 † 0 `
5 6 ` 2 ` 2 1
2 6 ` 4 ` 2 3
2 5 `
2 5 6
0 232 # 6 1121224 432 # 5 31224
0 20 64 44
b) Al expandir a partir de la tercera columna tenemos
Las calculadoras gráficas pueden
calcular determinantes. En seguida se
muestra el resultado que proporciona
la TI-83 del cálculo del determinante
del ejemplo 3.
[A]
[[2 3 -1]
[0 2 4 ]
[ -2 5 6 ]]
-44
det1A2 †
1 `
2 3 1
0 2 4 †
2 5 6
0 2
2 5 ` 4 ` 2 3
2 5 ` 6 ` 2 3
0 2 `
30 # 5 21224 432 # 5 31224 612 # 2 3 # 02
4 64 24 44
En ambos casos llegamos al mismo valor del determinante, como cuando expandimos
a partir de primer renglón del ejemplo 2.
■
El criterio siguiente permite que determinemos si una matriz cuadrada tiene una
inversa sin calcular realmente la inversa. Este es uno de los más importantes usos del
determinante en el álgebra de matrices, y es la razón del nombre determinante.