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SECCIÓN 10.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 801
Aplicaciones
27. Órbita de la Tierra La ecuación polar de una elipse se
puede expresar en términos de su excentricidad e y la longitud
a de su eje mayor.
a) Muestre que la ecuación polar de una elipse con directriz
x d se puede escribir en la forma
r a11 e2 2
1 e cos u
[Sugerencia: use la relación a 2 e 2 d 2 /(1 e 2 ) 2 dada en
la demostración de la página 795.]
b) Halle una ecuación polar aproximada para la órbita elíptica
de la Tierra alrededor del Sol (en un foco) dado que
la excentricidad es aproximadamente 0.017 y la longitud
del eje mayor es casi 2.99 10 8 km.
28. Perihelio y afelio Los planetas se mueven alrededor del
Sol en órbitas elípticas con el Sol en un foco. Las posiciones
de un planeta más próxima y más alejada del Sol se llaman
perihelio y afelio, respectivamente.
perihelio
r
¨
Sol
planeta
afelio
a) Use el ejercicio 27a) para mostrar que la distancia del
perihelio desde un planeta al Sol es a(1 e) y la distancia
del afelio es a(1 e).
b) Use los datos del ejercicio 27b) para hallar las distancias
de la Tierra al Sol en el perihelio y el afelio.
29. Órbita de Plutón La distancia del planeta Plutón al Sol
es de 4.43 10 9 km en el perihelio y 7.37 10 9 km en el
afelio. Use el ejercicio 28 para hallar la excentricidad de la
órbita de Plutón.
Descubrimiento • Debate
30. Distancia a un foco Cuando se encuentran las ecuaciones
polares para las cónicas, se coloca un foco en el polo. Es
fácil hallar la distancia desde ese foco a cualquier punto en
la cónica. Explique cómo mediante la ecuación polar se determina
esta distancia.
31. Ecuaciones polares de órbitas Cuando un satélite orbita
la Tierra, su trayectoria es una elipse con un foco en el
centro de la Tierra. ¿Por qué los científicos usan coordenadas
polares (en vez de rectangulares) para rastrear la posición
de satélites? [Sugerencia: su respuesta al ejercicio 30
es importante aquí.]
10.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas
Hasta el momento se ha descrito una curva dando una ecuación (en coordenadas rectangulares
o polares) que deben satisfacer las coordenadas de todos los puntos sobre
la curva. Pero no todas las curvas en el plano se pueden describir de esta manera. En
esta sección se estudian ecuaciones paramétricas, que son un método general para
describir una curva.
Curvas planas
Se puede considerar a una curva como la trayectoria de un punto que se mueve en el
plano; las coordenadas x y y del punto son entonces funciones del tiempo. Esta idea
conduce a la siguiente definición.
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
Si f y g son funciones en un intervalo I, entonces el conjunto de puntos
1f1t2, g1t22 es una curva plana. Las ecuaciones
x f1t2
y g1t2
donde t I, son ecuaciones paramétricas para la curva, con parámetro t.