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438 CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas de números reales
Ejemplo 2
Grafique cada una de las funciones.
Gráficas de curvas tangentes
a) y tan 2x b)
y tan 2 a x p 4 b
Puesto que y tan x completa un periodo
entre x y x p , la función
p
y tan 21x p 2 2
completa un periodo
p
cuando 21x p 4 2
4 2 varía desde a .
Inicio del periodo:
21x p p
4 2 2
x p p
4 4
x 0
p 2
Final del periodo:
21x p 4 2 p 2
x p 4 p 4
x p 2
Por lo que graficamos un periodo
en el intervalo . 10, p 2 2
2
Solución
a) El periodo es p/2 y un intervalo adecuado es 1p/4, p/42. Los puntos terminales
x p/4 y x p/4 son asíntotas verticales. Por lo tanto, graficamos un periodo
completo de la función en 1p/4, p/42. La gráfica tiene la misma
forma que la de la función tangente, pero está acortada horizontalmente por
1
un factor de 2. Entonces repetimos esa parte de la gráfica a la izquierda y a la derecha.
Véase figura 7(a).
b) La gráfica es la misma que la del inciso a), pero está desplazada a la derecha p/4,
como se ilustra en la figura 7(b).
3π
_ 4
π
_ 2
π
_ 4
y
1
π
8
π
2
π
4
x
π
_ 2
y
π
_ 1
4
0 π π 3π
4 2 4
π
x
Figura 7
a) y=† 2x
b) y=† 2!x- @
■
Ejemplo 3
Una curva cotangente desplazada
Grafique y 2 cot a 3x p .
2 b
Puesto que y cot x completa un periodo
entre x 0 y x p, la función
y 2 cot13x p completa un periodo
cuando 3x p 2 2
2 varía de 0 a p.
Inicio del periodo: Final del periodo:
3x p 3x p 2 0
2 p
3x p 2
3x 3p 2
x p x p 6
2
Por lo que graficamos un periodo
en el intervalo 1 p 6, p 2 2.
Solución Primero expresamos la ecuación en la forma y a cot k1x b2 tomando
como factor a 3 de la expresión 3x p :
2
y 2 cot a 3x p 2 b 2 cot 3 a x p 6 b
Por consiguiente, la gráfica es la misma que la de y 2 cot 3x, pero está desplazada a
la derecha p/6. El periodo de y 2 cot 3x es p/3, por lo que un intervalo adecuado
es 10, p/32. Para obtener el intervalo correspondiente para la gráfica deseada, desplazamos
este intervalo a la derecha p/6. Esto nos da
a0 p 6 , p 3 p 6 b a p 6 , p 2 b