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660 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
(_1, 6)
9
(2, 3)
(1, 2)
_2 4
_1
Figura 1
Mejor ajuste y ajuste exacto
Dados varios puntos en el plano, podemos determinar la recta que mejor se ajusta
a ellos (véase Enfoque en el modelado, página 239). Claro, no todos los puntos
quedarán en la recta. Asimismo, podemos determinar el polinomio cuadrático que
mejor se ajusta a los puntos. Una vez más, no todos los puntos quedarán en la
gráfica del polinomio.
No obstante, si tenemos sólo dos puntos, entonces podemos determinar una
recta que ajuste exacto, es decir, una recta que realmente pase por ambos puntos.
De manera similar, dados tres puntos, no todos en la misma recta, podemos determinar
el polinomio cuadrático de ajuste exacto. Por ejemplo, suponga que
tenemos los tres puntos siguientes:
11, 62, 11, 22, 12, 32
A partir de la figura 1 vemos que los puntos no quedan en una recta. Encontremos
el polinomio cuadrático que se ajusta exactamente a estos puntos. El polinomio
debe tener la forma
y ax 2 bx c
Es necesario determinar a, b y c de modo que la gráfica del polinomio resultante
contenga los puntos dados. Al sustituir los puntos dados en la ecuación llegamos
a lo siguiente.
Punto Sustitución Ecuación
11, 62
11, 22
12, 32
x 1, y 6
x 1, y 2
x 2, y 3
6 a112 2 b112 c
2 a112 2 b112 c
3 a122 2 b122 c
Estas tres ecuaciones se simplifican en el sistema siguiente
a b c 6
• a b c 2
4a 2b c 3
Al aplicar la eliminación de Gauss obtenemos la solución a 1, b 2 y
c 3. Entonces, el polinomio requerido es
y x 2 2x 3
De acuerdo con la figura 2 vemos que la gráfica del polinomio pasa por los
puntos dados.
9
Figura 2
(_1, 6)
(2, 3)
(1, 2)
_2 4
_1