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SECCIÓN 9.3 Sistemas de ecuaciones lineales con varias variables 655
Ejemplo 4
Resuelva el sistema siguiente
Un sistema con una cantidad infinita
de soluciones
x y 5z 2
• 2x y 4z 2
2x 4y 2z 8
Ecuación 1
Ecuación 2
Ecuación 3
Solución Para poner el sistema en forma triangular, se tiene que empezar por
eliminar los términos en x de la segunda ecuación y de la tercera.
x y 5z 2
• 3y 6z 6
2x 4y 2z 8
x y 5z 2
• 3y 6z 6
6y 12z 12
Ecuación 2 (2) ecuación 1 nueva ecuación 2
Ecuación 3 (2) ecuación 1 ecuación 3
En seguida eliminamos los términos que tienen y de la tercera ecuación.
x y 5z 2
• 3y 6z 6
0 0
Ecuación 3 (2) ecuación 2 nueva ecuación 3
La nueva tercera ecuación es verdadera, pero no proporciona nueva información así
que se puede eliminar del sistema. Sólo quedan dos ecuaciones. Se pueden utilizar
para determinar x y y en función de z, pero z puede tomar cualquier valor, de modo
que hay una cantidad infinita de soluciones.
Para determinar la solución completa del sistema se empieza por despejar y y
dejarla en función de z, usando la nueva segunda ecuación.
3y 6z 6
y 2z 2
y 2z 2
Ecuación 2
Multiplicación por
Despeje de y
1
3
Luego se despeja x y se deja en función de z, usando la primera ecuación.
x 12z 22 5z 2
x 3z 2 2
x 3z
Sustitución de y 2z 2 en la ecuación 1
Simplificación
Determinación de x
Para tener la solución completa, t representará cualquier número real. La solución es
x 3t
y 2t 2
z t
También se puede expresar como una terna ordenada 13t, 2t 2, t2.
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