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SECCIÓN 8.2 Gráficas de ecuaciones polares 595
7–14 ■ Pruebe la simetría de la ecuación polar con respecto al
eje polar, el polo y la línea u p/2.
7. r 2 sen u 8. r 4 8 cos u
9. r 3 sec u 10. r 5 cos u csc u
4
5
11. r
12. r
3 2 sen u
1 3 cos u
13. r 2 4 cos 2u 14. r 2 9 sen u
15–36 ■ Bosqueje la gráfica de la ecuación polar.
15. r 2 16. r 1
17. u p/2 18. u 5p/6
19. r 6 sen u 20. r cos u
21. r 2 cos u 22. r 2 sen u 2 cos u
23. r 2 2 cos u 24. r 1 sen u
25. r 311 sen u2 26. r cos u 1
27. r u, u 0 (espiral)
28. r u 1, u 0 (espiral recíproca)
29. r sen 2u (rosa de cuatro hojas)
30. r 2 cos 3u (rosa de tres hojas)
31. r 2 cos 2u (lemniscata)
32. r 2 4 sen 2u (lemniscata)
33. r 2 sen u (caracol)
34. r 1 2 cos u (caracol)
35. r 2 sec u (concoide)
36. r sen u tan u (cisoide)
37–40 ■ Use un dispositivo de graficación para graficar la ecuación
polar. Elija el dominio de u para asegurar que produce la
gráfica completa.
37. r cos1u/22
38. r sen18u/52
39. r 1 2 sen1u/22 (nefroide)
40. r 21 0.8 sen 2 u (hipopeda)
41. Grafique la familia de ecuaciones polares r 1 sen nu
para n 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Cómo se relaciona el número de
bucles con n?
42. Grafique la familia de ecuaciones polares r 1 c sen 2u
para c 0.3, 0.6, 1, 1.5 y 2. ¿Cómo cambia la gráfica cuando
se incrementa c?
43–46 ■ Compare la ecuación polar con las gráficas marcadas
IIV. Dé razones para sus respuestas.
43. r sen1u/22
44. r 1/ 1u
45. r u sen u 46.
1 1
III
IV
10
1
47–50 ■ Bosqueje una gráfica de la ecuación rectangular.
[Sugerencia: primero convierta la ecuación a coordenadas
polares.]
47. 1x 2 y 2 2 3 4x 2 y 2
48.
49.
50.
I
1x 2 y 2 2 3 1x 2 y 2 2 2
1x 2 y 2 2 2 x 2 y 2
x 2 y 2 1x 2 y 2 x2 2
51. Muestre que la gráfica de r a cos u b sen u es un círculo,
y encuentre su centro y radio.
52. a) Grafique la ecuación polar r tan u sec u en el rectángulo
de visión 33, 34 por 31, 94.
b) Observe que su gráfica del inciso a) se parece a una
parábola (véase la sección 2.5). Confirme esto convirtiendo
la ecuación a coordenadas rectangulares.
Aplicaciones
53. Órbita de un satélite Los científicos e ingenieros emplean
con frecuencia coordenadas polares para modelar el
movimiento de satélites en la órbita de la Tierra. Considérese
un satélite cuya órbita se modela mediante la ecuación
r 22500/14 cos u2, donde r es la distancia en millas
entre el satélite y el centro de la Tierra y u es el ángulo
mostrado en la figura en la página siguiente.
a) En la misma pantalla de visión, grafique el círculo
r 3960 (para representar la Tierra, que se supone es
una esfera de radio 3960 millas) y la ecuación polar de la
órbita del satélite. Describa el movimiento del satélite
cuando u se incrementa de 0 a 2p.
II
r 1 3 cos13u2