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932 Enfoque en el modelado
4 pies
3 pies
6 pies
0
Îx
x k
x
(profundidad)
Suponga que un acuario con 3 pies de ancho, 6 pies de largo y 4 pies de altura está lleno
de agua. El fondo del acuario tiene área 3 6 18 pies 2 , y experimenta una presión
de agua de p142 62.5 4 250 lb/pies 2 . Así, la fuerza total ejercida por el agua en el
fondo es 250 18 4500 lb.
El agua ejerce también una fuerza sobre los lados del acuario, pero no es tan fácil
calcularla porque la presión se incrementa de la parte superior a la inferior. Para calcular
la fuerza en uno de los lados de 4 pies 6 pies, se divide su área en n tiras horizontales
delgadas de ancho ¢x, como se muestra en la figura. El área de cada tira es
longitud ancho 6 x
Si el fondo de la k-ésima tira está a la profundidad x k , entonces experimenta una presión
de agua de casi p1x k 2 62.5x k lb/pies 2 ; mientras más delgada es la tira, más exacta es la
aproximación. Así, en cada tira el agua ejerce una fuerza de
presión área 62.5x k 6 x 375x k x libras
a) Explique por qué la fuerza total ejercida por el agua sobre los lados de 4 6 pies
del acuario es
n
lím a 375x k ¢x
nq k1
donde ¢x 4/n y x k 4k/n.
b) ¿Qué área representa el límite del inciso a)?
c) Evalúe el límite del inciso a) para hallar la fuerza ejercida por el agua en uno de los
lados de 4 6 pies del acuario.
d) Use la misma técnica para hallar la fuerza ejercida por el agua en uno de los lados
de 4 3 pies del acuario.
NOTA Los ingenieros emplean la técnica descrita en este problema para hallar la
fuerza total que ejerce el aguja sobre una presa.
4. Distancia recorrida por un automóvil Puesto que distancia velocidad tiempo,
es fácil apreciar que un automóvil en movimiento, por ejemplo, a 70 millas/h durante
5 h recorrerá una distancia de 350 millas. ¿Pero qué pasa si varía la velocidad, como
sucede en realidad en la práctica?
a) Suponga que la velocidad de un objeto móvil en el tiempo t es √1t2. Explique por qué
la distancia que recorre el objeto entre los tiempos t a y t b es el área bajo la
gráfica de v entre t a y t b.
b) La velocidad de un automóvil t segundos después de que comienza a moverse está
dada por la función √1t2 6t 0.1t 3 pies/s. Encuentre la distancia que recorre el
automóvil de t 0 a t 5 s.
5. Capacidad térmica Si la temperatura exterior alcanza un máximo de 90F un día y
sólo 80F el siguiente, entonces probablemente se diría que el primer día fue más cálido
que el segundo. Sin embargo, suponga que el primer día la temperatura fue menor a
60F durante la mayor parte del día, y alcanza la máxima temperatura sólo de manera
breve, mientras que en el segundo día la temperatura permaneció arriba de 75F todo el
tiempo. Ahora bien, ¿cuál día es el más cálido? Para tener una mejor medición de cuán
cálido es un día particular, los científicos usan el concepto de grado de calentamientohora.
Si la temperatura es una constante D grados durante t horas, entonces el “poder
calorífico” generado en este periodo es Dt grados de calentamiento-horas:
grados de calentamiento-horas temperatura tiempo
Si la temperatura no es constante, entonces el número de grados de calentamiento-horas es
igual al área bajo la gráfica de la función de temperatura en el periodo en cuestión.