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SECCIÓN 10.5 Rotación de ejes 787
Y
y
30*
X
x
Al desarrollar y reunir términos semejantes, se obtiene
7 13X 2 313Y 2 2113
X 2
3 Y 2
7 1
Divida entre 2113
Ésta es la ecuación de una elipse en el sistema coordenado XY. Los focos se encuentran
sobre el eje Y. Debido a que a 2 7 y b 2 3, la longitud del eje mayor es 217
y la longitud del eje menor es 213. La elipse se bosqueja en la figura 4. ■
Figura 4
613x 2 6xy 413y 2 2113
En el ejemplo precedente se pudo determinar f sin dificultad, puesto que se recordó
que cot 60° 13/3. En general, hallar f no es tan fácil. En el ejemplo siguiente
se ilustra cómo las siguientes fórmulas de la mitad de un ángulo, que son válidas
para 0 f p/2, son útiles para determinar f (véase la sección 7.3):
cos f B
1 cos 2f
2
sen f B
1 cos 2f
2
25
2ƒ
7
Figura 5
24
Ejemplo 4
Una cónica tiene la ecuación
Graficar una cónica rotada
64x 2 96xy 36y 2 15x 20y 25 0
a) Use la rotación de ejes para eliminar el término xy.
b) Identifique y bosqueje la gráfica.
c) Dibuje la gráfica por medio de una calculadora.
Solución
a) Para eliminar el término xy, se hacen girar los ejes por un ángulo f que satisface
cot 2f A C
B
En la figura 5 se bosqueja un triángulo con cot 2f 7 . Se ve que
cos 2f 7
25
por lo tanto, con las fórmulas de la mitad de un ángulo, se obtiene
1 7
25 16
cos f B 2 B 25 4 5
sen f B
1 7 25
2
Así, las fórmulas de rotación de ejes dan
x 4 5 X 3 5 Y y y 3 5 X 4 5 Y
Al sustituir en la ecuación dada, se obtiene
64A 4 5 X 3 5 YB 2 96A 4 5 X 3 5 YBA 3 5 X 4 5 YB
64 36
96
7 24
B
9
25 3 5
36A 3 5 X 4 5YB 2 15A 4 5 X 3 5YB 20A 3 5 X 4 5YB 25 0
24