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592 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
Las gráficas de las figuras 2, 6e) y 8 son simétricas respecto al eje polar. La gráfica
de la figura 8 también es simétrica respecto al polo. En las figuras 4 y 8 se muestran
gráficas que son simétricas respecto a u p/2. Observe que la rosa de cuatro
hojas de la figura 8 satisface las tres pruebas para simetría.
En coordenadas rectangulares, los ceros de la función y f1x2 corresponden a las
intersecciones de la gráfica. En coordenadas polares, los ceros de la función r f1u2
son los ángulos u en los que la curva cruza el polo. Los ceros ayudan a bosquejar la
gráfica, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
r
3
Ejemplo 6
Uso de la simetría para bosquejar
una gráfica polar
Bosqueje la gráfica de la ecuación r 1 2 cos u.
Solución
Se usa lo siguiente como ayuda para bosquejar la gráfica.
0 π 2π
_1 3 3
π
2π
¨
■ Simetría Puesto que la ecuación no se modifica cuando u se remplaza por u,
la gráfica es simétrica respecto al eje polar.
■ Ceros Para hallar los ceros, se resuelve
Figura 10
0 1 2 cos u
1
cos u
2
2π
¨= 3
u 2p 3 , 4p 3
■ Tabla de valores Como en el ejemplo 4, se bosqueja la gráfica de r 1 2
cos u en coordenadas rectangulares que sirve como una tabla de valores (figura 10).
Ahora se bosqueja la gráfica polar de r 1 2 cos u de u 0 a u p, y luego
se usa la simetría para completar la gráfica en la figura 11.
■
4π
¨= 3
Figura 11
r 1 2 cos u
La curva de la figura 11 se llama limaçon por la palabra francesa de la Edad Media
para caracol. En general, la gráfica de una ecuación de la forma
r a b cos u
o
r a b sen u
es un caracol. La forma del caracol depende del tamaño relativo de a y b (véase la tabla
de la página 594).
Figura 12
r sen u sen 3 15 u/22
Construcción de gráficas de ecuaciones polares
con dispositivos de graficación
Aunque es útil poder bosquejar gráficas polares simples a mano, se necesita una
calculadora para gráficas o una computadora cuando la gráfica es tan complicada como
la de la figura 12. Por fortuna, la mayor parte de las calculadoras para gráficas son
capaces de graficar ecuaciones polares de manera directa.