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932 Enfoque en el modelado 4 pies 3 pies 6 pies 0 Îx x k x (profundidad) Suponga que un acuario con 3 pies de ancho, 6 pies de largo y 4 pies de altura está lleno de agua. El fondo del acuario tiene área 3 6 18 pies 2 , y experimenta una presión de agua de p142 62.5 4 250 lb/pies 2 . Así, la fuerza total ejercida por el agua en el fondo es 250 18 4500 lb. El agua ejerce también una fuerza sobre los lados del acuario, pero no es tan fácil calcularla porque la presión se incrementa de la parte superior a la inferior. Para calcular la fuerza en uno de los lados de 4 pies 6 pies, se divide su área en n tiras horizontales delgadas de ancho ¢x, como se muestra en la figura. El área de cada tira es longitud ancho 6 x Si el fondo de la k-ésima tira está a la profundidad x k , entonces experimenta una presión de agua de casi p1x k 2 62.5x k lb/pies 2 ; mientras más delgada es la tira, más exacta es la aproximación. Así, en cada tira el agua ejerce una fuerza de presión área 62.5x k 6 x 375x k x libras a) Explique por qué la fuerza total ejercida por el agua sobre los lados de 4 6 pies del acuario es n lím a 375x k ¢x nq k1 donde ¢x 4/n y x k 4k/n. b) ¿Qué área representa el límite del inciso a)? c) Evalúe el límite del inciso a) para hallar la fuerza ejercida por el agua en uno de los lados de 4 6 pies del acuario. d) Use la misma técnica para hallar la fuerza ejercida por el agua en uno de los lados de 4 3 pies del acuario. NOTA Los ingenieros emplean la técnica descrita en este problema para hallar la fuerza total que ejerce el aguja sobre una presa. 4. Distancia recorrida por un automóvil Puesto que distancia velocidad tiempo, es fácil apreciar que un automóvil en movimiento, por ejemplo, a 70 millas/h durante 5 h recorrerá una distancia de 350 millas. ¿Pero qué pasa si varía la velocidad, como sucede en realidad en la práctica? a) Suponga que la velocidad de un objeto móvil en el tiempo t es √1t2. Explique por qué la distancia que recorre el objeto entre los tiempos t a y t b es el área bajo la gráfica de v entre t a y t b. b) La velocidad de un automóvil t segundos después de que comienza a moverse está dada por la función √1t2 6t 0.1t 3 pies/s. Encuentre la distancia que recorre el automóvil de t 0 a t 5 s. 5. Capacidad térmica Si la temperatura exterior alcanza un máximo de 90F un día y sólo 80F el siguiente, entonces probablemente se diría que el primer día fue más cálido que el segundo. Sin embargo, suponga que el primer día la temperatura fue menor a 60F durante la mayor parte del día, y alcanza la máxima temperatura sólo de manera breve, mientras que en el segundo día la temperatura permaneció arriba de 75F todo el tiempo. Ahora bien, ¿cuál día es el más cálido? Para tener una mejor medición de cuán cálido es un día particular, los científicos usan el concepto de grado de calentamientohora. Si la temperatura es una constante D grados durante t horas, entonces el “poder calorífico” generado en este periodo es Dt grados de calentamiento-horas: grados de calentamiento-horas temperatura tiempo Si la temperatura no es constante, entonces el número de grados de calentamiento-horas es igual al área bajo la gráfica de la función de temperatura en el periodo en cuestión.
a) En un determinado día, la temperatura (en F) se modeló mediante la función , donde t se midió en horas desde la medianoche. ¿Cuántos grados de calentamiento-horas se experimentaron en este día, de t 0 a t 24? b) ¿Cuál fue la temperatura máxima en el día descrito en el inciso a)? c) En otro día, la temperatura (en F) se modeló mediante la función E1t2 50 5t 1 4t 2 . ¿Cuántos grados de calentamiento-horas se experimentaron ese día? d) ¿Cuál es la temperatura máxima en el día descrito en el inciso c)? e) ¿Qué día fue más cálido? D1t2 61 6 5t 1 25t 2 Interpretaciones de área 933
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Enfoque en el modelado Trayectoria
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11 Sucesiones y series
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IDENTIDADES FUNDAMENTALES FÓRMULAS
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FÓRMULAS DE LA DISTANCIA Y DEL PUN
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