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806 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
2.5
_1.5 1.5
_2.5
a) x=sen 2t, y=2 ç t
2.5
_1.5 1.5
_2.5
b) x=sen 3t, y=2 ç t
Figura 12
a) Puesto que 2 cos t es periódica con periodo 2p (véase la sección 5.3) y puesto
que sen 2t tiene periodo p, si se permite que t varíe en el intervalo 0 t 2p
se obtiene la gráfica completa, que se muestra en la figura 12a).
b) De nuevo, si t toma valores entre 0 y 2p se obtiene la gráfica completa mostrada
en la figura 12b).
Ambas gráficas son curvas cerradas, lo que significa que forman bucles con el
mismo inicio y punto final; también, ambas gráficas se cruzan a sí mismas. Sin embargo,
la gráfica de la figura 12a) tiene dos bucles, como un ocho, mientras que la
gráfica de la figura 12b) tiene tres bucles.
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Las curvas graficadas en el ejemplo 7 se llaman figuras de Lissajous. Una figura
de Lissajous es la gráfica de un par de ecuaciones paramétricas de la forma
x A sen v 1 t
y B cos v 2 t
donde A, B, v 1 y v 2 son constantes reales. Puesto que sen v 1 t y cos v 2 t están entre 1 y
1, una figura de Lissajous estará dentro del rectángulo determinado por A x A,
B y B. Este hecho se puede usar para elegir un rectángulo de visión al graficar
una figura de Lissajous, como en el ejemplo 7.
Recuerde de la sección 8.1 que las coordenadas rectangulares (x, y) y las coordenadas
polares (r, u) están relacionadas por las ecuaciones x r cos u, y r sen u. En
consecuencia, se puede graficar la ecuación polar r f(u) cambiándola a la forma
paramétrica como sigue:
x r cos u f1u2 cos u
y r sen u f1u2 sen u
Puesto que r f 1u2
Al reemplazar u con la variable estándar paramétrica t, se tiene el siguiente resultado.
Ecuaciones polares en forma paramétrica
La gráfica de la ecuación polar r f(u) es la misma que la gráfica de las
ecuaciones paramétricas
x f1t2 cos t
y f1t2 sen t
32
_32 32
_32
Figura 13
x t cos t, y t sen t
Ejemplo 8
Forma paramétrica de una ecuación polar
Considere la ecuación polar r u, 1 u 10p.
a) Exprese la ecuación en forma paramétrica.
b) Dibuje una gráfica de las ecuaciones paramétricas del inciso a).
Solución
a) La ecuación polar dada es equivalente a las ecuaciones paramétricas
x t cos t
y t sen t
b) Puesto que 10p 31.42, se usa el rectángulo de visión [32, 32] por [32, 32] y
se permite que t varíe de 1 a 10p. La gráfica resultante mostrada en la figura 13 es
una espiral.
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