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SECCIÓN 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 175
s (mi)
200
100
3 h
150 mi
0 1 2 3 4 t (h)
Figura 4
Velocidad promedio
Ahora suponga que realiza un viaje en automóvil y registra la distancia que recorre
cada cierto número de minutos. La distancia s que ha recorrido es una función del
tiempo t:
s(t) distancia total recorrida en el tiempo t
Se grafica la función s como se muestra en la figura 4. En la gráfica se observa que
se ha recorrido un total de 50 millas después de una hora, 75 millas después de dos
horas, 140 millas después de tres horas, etc. Para hallar la velocidad promedio entre
dos puntos cualesquiera en el viaje, se divide la distancia recorrida entre el tiempo
transcurrido.
Se calcula la velocidad promedio entre la 1:00 P.M. y 4:00 P.M. El tiempo transcurrido
es 4 1 3 horas. Para hallar la distancia recorrida, se resta la distancia a
la 1:00 P.M. de la distancia a las 4:00 P.M., es decir, 200 50 150 millas. Así, la
velocidad promedio es
distancia recorrida 150 millas
velocidad promedio 65 millas/h
tiempo transcurrido 3 horas
La velocidad promedio recién calculada se puede expresar con notación de función:
s(4) s(1) 200 50
velocidad promedio 50 millas/h
4 1 3
Hay que observar que la velocidad promedio es diferente en intervalos de tiempo distintos.
Por ejemplo, entre las 2:00 P.M. y 3:00 P.M. se encuentra que
s(3) s(2) 140 75
velocidad promedio 65 millas/h
3 2 1
Determinar las tasas de cambio promedio es importante en muchos contextos. Por
ejemplo, se puede tener interés en saber qué tan rápido desciende la temperatura del
aire cuando se aproxima una tormenta, o qué tan rápido crecen los ingresos por la
venta de un nuevo producto. Por lo tanto, se necesita saber cómo determinar la tasa
de cambio promedio de funciones que modelan estas cantidades. De hecho, el concepto
de tasa de cambio promedio se puede definir para cualquier función.
Tasa de cambio promedio
La tasa de cambio promedio de la función y f1x2 entre x a y x b es
tasa de cambio promedio
cambio en y
cambio en x
La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x a y
x b en la gráfica de f, es decir, la recta que pasa por 1a, f1a22 y 1b, f1b22.
f(b) f(a)
b a
y
f(b)
f(a)
tasa de cambio promedio= f(b)-f(a)
b-a
y=Ï
b-a
f(b)-f(a)
0
a
b
x