7nxQnvJSe

502 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Un lado y dos ángulos (LAA)
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados (LLA)
Dos lados y el ángulo incluido (LAL)
Tres lados (LLL)
Los casos 1 y 2 se resuelven por medio de la ley de los senos; los casos 3 y 4 requieren
la ley de los cosenos.
Ley de los senos
La ley de los senos dice que en cualquier triángulo las longitudes de los lados son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos correspondientes.
Ley de los senos
En el triángulo ABC se tiene
sen A
a
sen B
b
sen C
c
A
c
b
h=b senC
B
a
Figura 3
millas
Ángeles
Figura 4
C
■ Demostración Para ver por qué es cierta la ley de los senos, refiérase a la
1
figura 3. Por la fórmula de la sección 6.3 el área de un triángulo ABC es 2 ab sen C.
1
1
Por la misma fórmula el área de este triángulo es también 2 ac sen B y 2 bc sen A. Así,
Al multiplicar por 2/1abc2 se obtiene la ley de los senos.
Ejemplo 1
Rastreo de un satélite (LAA)
Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de
observación en Phoenix y Los Ángeles, apartadas 340 millas. En un instante
cuando el satélite está entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado
de manera simultánea como 60 en Phoenix y 75 en Los Ángeles. ¿Qué tan lejos
está el satélite de Los Ángeles? En otras palabras, encuentre la distancia AC en la
figura 4.
Solución Siempre que dos ángulos en un triángulo se conocen, el tercer ángulo se
puede determinar de inmediato porque la suma de los ángulos de un triángulo es
180. En este caso, C 180° 175° 60°2 45° (véase la figura 4), por lo
tanto se tiene
sen B
b
sen 60°
b
1
2 bc sen A 1 2 ac sen B 1 2 ab sen C
sen C
c
b
sen 45°
340
340 sen 60°
sen 45°
416
Ley de los senos
Sustituya
Resuelva para b
■
La distancia del satélite desde Los Ángeles es aproximadamente 416 millas.
■