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Si P1x, y2 es cualquier punto sobre la parábola, entonces la distancia de P al foco F
(con la fórmula de la distancia) es
La distancia desde P a la directriz es
2x 2 1y p2 2 SECCIÓN 10.1 Parábolas 745
0 y 1p2 0 0 y p 0
Por la definición de una parábola, estas dos distancias deben ser iguales:
2x 2 1y p2 2 0 y p 0
x 2 1y p2 2 0 y p 0 2 1y p2 2 Eleve al cuadrado ambos lados
x 2 y 2 2py p 2 y 2 2py p 2 Desarrolle
x 2 2py 2py
Simplifique
x 2 4py
Si p 0, entonces la parábola abre hacia arriba, pero si p 0, abre hacia abajo. Cuando
x se reemplaza por x, la ecuación permanece sin cambio, de modo que la gráfica es
simétrica respecto al eje y.
Ecuaciones y gráficas de parábolas
En el cuadro siguiente se resume lo que se ha probado acerca de la ecuación y características
de una parábola con un eje vertical.
Parábola con eje vertical
La gráfica de la ecuación
x 2 4py
es una parábola con las siguientes propiedades.
VÉRTICE V10, 02
FOCO
DIRECTRIZ
F10, p2
y p
La parábola abre hacia arriba si p 0 o hacia abajo si p 0.
y
y
F(0, p)
y=_p
y=_p
0
x
0
F(0, p)
x
≈=4py con p>0 ≈=4py con p