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SECCIÓN 11.6 Teorema del binomio 869
20.
a 5 0 b a 5 1 b a 5 2 b a 5 3 b a 5 4 b a 5 5 b 43–44 ■ Simplifique usando el teorema del binomio.
1x h2 3 x 3
1x h2 4 x 4
43. 44.
h
h
21–24 ■ Por medio del teorema de binomio desarrolle la
expresión
21. 1x 2y2 4
22. 11 x2 5
23. a 1 1 6
24. 12A B 2 2 4
x b
25. Calcule los primeros tres términos del desarrollo de
1x 2y2 20
26. Determine los primeros cuatro términos del desarrollo de
1x 1/2 12 30 .
27. Encuentre los últimos dos términos del desarrollo de
1a 2/3 a 1/3 2 25 .
28. Encuentre los primeros tres términos del desarrollo de
a x 1 40
x b
29. Calcule el término medio del desarrollo de 1x 2 12 18 .
30. Determine el quinto término del desarrollo de 1ab 12 20 .
31. Calcule el vigésimocuarto término del desarrollo de
1a b2 25 .
32. Encuentre el vigésimooctavo del desarrollo de 1A B2 30 .
33. Encuentre el centésimo término del desarrollo de 11 y2 100 .
34. Calcule el segundo término del desarrollo de
a x 2 1 25
x b
35. Encuentre el término que contiene x 4 en el desarrollo de
1x 2y2 10 .
36. Encuentre el término que contiene y 3 en el desarrollo
de A 12 yB 12 .
37. Determine el término que contiene b 8 en el desarrollo de
1a b 2 2 12 .
38. Calcule el término que no contiene x en el desarrollo de
a 8x 1 8
2x b
39–42 ■ Factorice aplicando el teorema del binomio.
39. x 4 4x 3 y 6x 2 y 2 4xy 3 y 4
40.
1x 12 5 51x 12 4 101x 12 3
101x 12 2 51x 12 1
41. 8a 3 12a 2 b 6ab 2 b 3
42. x 8 4x 6 y 6x 4 y 2 4x 2 y 3 y 4
45. Demuestre que 11.012 100 2.
[Sugerencia: Observe que 11.012 100 11 0.012 100 y aplique
el teorema del binomio para demostrar que la suma de los
primeros dos términos del desarrollo es mayor que 2.]
46. Demuestre que a n y a n .
0 b 1 n b 1
47. Demuestre que a n .
1 b a n
n 1 b n
48. Demuestre que a n para 0 r n.
r b a n
n r b
49. En este ejercicio demostramos la identidad
n
a
r 1 b a n r b a n 1 b
r
a) Escriba el primer miembro de esta ecuación como la
suma de dos fracciones.
b) Demuestre que un común denominador de la expresión
que encontró en el inciso a) es r!1n r 12!
c) Sume las dos fracciones usando el común denominador
del inciso b), simplifique el numerador y observe que la
expresión que resulta es igual al segundo miembro de
la ecuación.
50. Demuestre que 1 n r2 es un entero para toda n y para 0 r n.
[Sugerencia: aplique la inducción para demostrar que la proposición
es verdadera para toda n, y use el ejercicio 49 para
el paso de inducción.]
Descubrimiento • Debate
51. Potencias de factoriales ¿Qué es más grande 1100!2 101 o
1101!2 100 ? [Sugerencia: trate de factorizar las expresiones.
¿Tienen algunos factores comunes?]
52. Sumas de coeficientes binomiales Sume cada uno de
los cinco primeros renglones del triángulo de Pascal, como
se indica. ¿Observa usted algún patrón?
1 1 ?
1 2 1 ?
1 3 3 1 ?
1 4 6 4 1 ?
1 5 10 10 5 1 ?