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600 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
Bill Ross/Corbis
Matemáticas en el
mundo moderno
Fractales
Muchas de las cosas que se modelan
en este libro tienen formas
regulares predecibles. Pero avances
recientes en las matemáticas
han hecho posible modelar formas
en apariencia aleatorias, o incluso
caóticas, como las de una nube, una
flama oscilante, una montaña o
una costa accidentada. Las herramientas
básicas en este tipo de modelado
son los fractales inventados
por el matemático Benoit Mandelbrot.
Un fractal es una forma
geométrica construida a partir de
una forma básica al modificar la
escala y repetir la forma indefinidamente
de acuerdo con una regla
dada. Los fractales tienen detalle
infinito; esto significa que mientras
más se aproxime, más ve. También
son similares a sí mismos; es decir,
al ampliar una porción del fractal
se ven los mismos detalles de la
forma original. Debido a sus bellas
formas, los directores de cine emplean
fractales para crear paisajes
ficticios y fondos exóticos.
Aunque un fractal es una forma
compleja, se produce de acuerdo
con reglas muy simples (véase la
página 605). Esta propiedad de los
fractales se explota en un proceso de
almacenar fotografías en una computadora,
conocido como compresión
de imágenes fractales. En este proceso
una fotografía se guarda como
una forma básica simple y una regla;
repetir la forma de acuerdo con la regla
produce la fotografía original.
Este es un método de almacenaje
extremadamente eficaz; esa es la
manera cómo miles de fotografías a
color se pueden poner en un solo
disco compacto.
Ejemplo 6
Sean
Encuentre a) z 1 z 2 y b) z 1 /z 2 .
Multiplicación y división de números complejos
z 1 2 a cos p 4 i sen p 4 b y z 2 5 a cos p 3 i sen p 3 b
Solución
a) Por la fórmula de la multiplicación
Para aproximar la respuesta se usa una calculadora en el modo de radianes y se
obtiene
z 1 z 2 1010.2588 0.9659i2 2.588 9.659i
b) Por la fórmula de la división
Con una calculadora en el modo de radianes se obtiene la respuesta aproximada:
z 1
2
z 510.9659 0.2588i2 0.3864 0.1035i
2
Teorema de DeMoivre
z 1 z 2 122152ccos a p 4 p 3 b i sen a p 4 p 3 bd
10 a cos 7p 7p
i sen
12 12 b
z 1
z 2
2 5 c cos a p 4 p 3 b i sen a p 4 p 3 bd
2 5 c cos a p
12 b i sen a p
12 bd
2 5 a cos p 12 i sen p 12 b
El empleo repetido del uso de la fórmula de la multiplicación da la siguiente fórmula útil
para elevar un número complejo a una potencia n para cualquier entero positivo n.
Teorema de DeMoivre
Si z r 1cos u i sen u2, entonces para cualquier entero n
z n r n 1cos nu i sen nu2
Este teorema dice: para tomar la n-ésima potencia de un número complejo, se toma
la n-ésima potencia del módulo y se multiplica el argumento por n.
■ Demostración Por la fórmula de la multiplicación
z 2 zz r 2 3cos1u u2 i sen1u u24
r 2 1cos 2u i sen 2u2
■