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196 CAPÍTULO 2 Funciones
y
49
4
0
Figura 2
Ï=5(x-3)+4
(3, 4)
3
Valor
mínimo 4
x
Ejemplo 2
Valor mínimo de una función cuadrática
Considere la función cuadrática f1x2 5x 2 30x 49.
a) Exprese f en la forma estándar.
b) Bosqueje la gráfica de f.
c) Halle el valor mínimo de f.
Solución
a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el
cuadrado.
f1x2 5x 2 30x 49
51x 2 6x2 49
51x 2 6x 92 49 5 # 9
51x 32 2 4
Factorice 5 de los términos en x
Complete el cuadrado: sume 9 dentro
del paréntesis, reste 5 9 fuera
Factorice y simplifique
b) La gráfica es una parábola que tiene su vértice en 13, 42 y abre hacia arriba,
como se bosqueja en la figura 2.
c) Puesto que el coeficiente de x 2 es positivo, f tiene un valor mínimo. El valor
mínimo es f132 4. ■
Ejemplo 3
Valor máximo de una función cuadrática
Considere la función cuadrática f1x2 x 2 x 2.
a) Exprese f en la forma estándar.
b) Bosqueje la gráfica de f.
c) Encuentre el valor máximo de f.
Solución
a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el
cuadrado.
y x 2 x 2
1x 2 x2 2
Ax 2 x 1 4B 2 112 1 4
Ax 1 2B 2 9 4
Factorice -1 de los términos en x
Factorice y simplifique
b) De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que abre
hacia arriba y tiene vértice A 1 2, 9 4B. Como ayuda para trazar la gráfica, se encuentran
las intersecciones. La intersección y es f102 2. Para hallar las intersecciones
con x, se establece f1x2 0 y se factoriza la ecuación resultante.
x 2 x 2 0
1x 2 x 22 0
1x 221x 12 0
Complete el cuadrado: sume
dentro del paréntesis, reste
112 1 4 fuera
1
4