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794 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
y
k
(x, y)
( y+k)
5. Para trasladar una imagen por (h, k), se suma h a cada coordenada x y k a
cada coordenada y de cada punto en la imagen (véase la figura al margen).
Esto se puede hacer sumando una matriz apropiada M a D, pero la dimensión
de M cambiaría dependiendo de la dimensión de D. En la práctica, la traslación
se lleva a cabo mediante multiplicación de matrices. Para ver cómo se
hace esto, se introducen coordenadas homogéneas; es decir, se representa
el punto (x, y) por una matriz de 3 1:
0
h
x
x
1x, y2 4 £ y §
1
a) Sea T la matriz
1 0 h
T £ 0 1 k §
0 0 1
Muestre que T traslada el punto (x, y) al punto (x h, y h) comprobando
la siguiente multiplicación matricial.
1 0 h x x h
£ 0 1 k § £ y § £ y k §
0 0 1 1 1
b) Encuentre T 1 y describa cómo T 1 traslada puntos.
c) Compruebe que multiplicar las siguientes matrices tiene los efectos indicados
x
en un punto (x, y) representado por sus coordenadas homogéneas £ y § .
1
1 0 0 c 0 0 1 c 0 cos f sen f 0
£ 0 1 0§ £ 0 1 0§ £ 0 1 0§ £ sen f cos f 0 §
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Reflexión Expansión (o Corte en la Rotación respecto al
en el eje x contracción) dirección x origen por
en la dirección x
el ángulo f
d) Bosqueje la imagen representada (en coordenadas homogéneas) mediante
esta matriz de datos:
3 5 5 7 7 9 9 7 7 5 5 3 3
D £ 7 7 5 5 7 7 9 9 11 11 9 9 7§
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Encuentre la matriz T que traslada la imagen por (6, 8) y una matriz R
que gira la imagen en 45. Bosqueje las imágenes representadas por las
matrices de datos TD, RTD y T 1 RTD. Describa cómo se cambia
una imagen cuando su matriz de datos se multiplica por T, por RT y por
T 1 RT.