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664 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
En el ejemplo siguiente comparamos las dos formas de expresar sistemas de
ecuaciones lineales.
Ejemplo 2
Aplicación de las operaciones elementales
con los renglones para resolver un
sistema lineal
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales.
x y 3z 4
• x 2y 2z 10
3x y 5z 14
Solución El objetivo es eliminar el término en x de la segunda ecuación y los
términos x y y de la tercera ecuación. Para comparar, escribimos tanto el sistema de
ecuaciones y la matriz aumentada.
Sistema
Matriz aumentada
x y 3z 4
• x 2y 2z 10
3x y 5z 14
1 1 3 4
£ 1 2 2 10§
3 1 5 14
Sume 112 ecuación 1 a ecuación 2.
Sume 132 ecuación 1 a ecuación 3.
x y 3z 4
• 3y 5z 6
2y 4z 2
R 2 R 1 R 2
SSSSSSSO
R 3 3R 1 R 3
1 1 3 4
£ 0 3 5 6§
0 2 4 2
1
Multiplique ecuación 3 por 2 .
x y 3z 4
• 3y 5z 6
y 2z 1
1
2
R 3
SSSO
1 1 3 4
£ 0 3 5 6§
0 1 2 1
Sume 132 ecuación 3 a ecuación 2
para eliminar y de la ecuación 2.
x y 3z 4
•
z 3
y 2z 1
R 2 3R 3 R 2
SSSSSSSO
1 1 3 4
£ 0 0 1 3§
0 1 2 1
Intercambie las ecuaciones 2 y 3.
x y 3z 4
• y 2z 1
z 3
R 2 PRRO R 3
SSSSO
1 1 3 4
£ 0 1 2 1§
0 0 1 3
Ahora sustituimos al llegar a que x 2, y 7 y z 3. La solución es 12, 7, 32.
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Eliminación de Gauss
En general, para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando la matriz aumentada
efectuamos operaciones elementales con los renglones para llegar a una matriz
de una cierta forma. Esta forma se describe en el siguiente recuadro.