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SECCIÓN 5.2 Funciones trigonométricas de números reales 409
Relaciones de las funciones
trigonométricas de los ángulos
Si usted estudió las propiedades trigonométricas
de los triángulos rectángulos (capítulo 6), quizá se
esté preguntando cómo el seno y el coseno de un
ángulo se relacionan con esta sección. Para saberlo,
iniciemos con un triángulo rectángulo OPQ.
P
sen u
cos u
cat. op.
hip
y 1 y
cat. ady.
hip
PQ
OP P ¿Q ¿
OP ¿
OQ
OP OQ ¿
OP ¿
hip
cat. op.
x 1 x
Q
¨
cat. ady.
O
Triángulo rectángulo OPQ
Localice el triángulo en el plano coordenado
como se muestra, con el ángulo u en la posición
normal.
y
P'(x, y)
t
¨
O Q' 1
P
Q
x
Por la definición de las funciones trigonométricas
del número real t tenemos
sen t y cos t x
Ahora, si u se mide en radianes, entonces u t
(véase la figura). Entonces, las funciones trigonométricas
del ángulo con u dado en radianes son
exactamente las mismas que las funciones trigonométricas
definidas en términos del punto sobre la
circunferencia determinado por el número real t.
y
P'(x, y)
t
¨
O 1
x
P'(x, y) es el punto
determinado por t.
El punto P(x, y) de la figura es el punto que está
determinado por el arco t. Observe que el triángulo
OPQ es semejante al triángulo pequeño OPQ
cuyos catetos miden x y y.
Ahora, por la definición de las funciones trigonométricas
del ángulo u tenemos
La medida en radianes
del ángulo ¨ es t.
¿Por qué estudiar entonces trigonometría de
dos maneras distintas? Porque aplicaciones diferentes
requieren que veamos de forma distinta
las funciones trigonométricas. (Compare la sección
5.5 con las secciones 6.2, 6.4 y 6.5.)