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SECCIÓN 4.5 Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 369
Descubrimiento • Debate
83. Estimación de una solución Sin resolver en realidad
la ecuación, encuentre dos números enteros entre los que
debe quedar la solución de 9 x 20. Haga lo mismo para
9 x 100. Explique cómo llegó a sus conclusiones.
84. Una ecuación sorprendente Tome los logaritmos para
mostrar que la ecuación
x 1/log x 5
no tiene solución. ¿Para qué valores de k la ecuación
x 1/log x k
tiene una solución? ¿Qué indica lo anterior acerca de la gráfica
de la función f1x2 x 1/log x ? Confirme su respuesta por
medio de un dispositivo de graficación.
85. Ecuaciones disfrazadas Cada una de estas ecuaciones se
pueden transformar en una ecuación de tipo lineal o
cuadrático al aplicar la sugerencia. Resuelva cada ecuación.
(a) 1x 12 log1x12 1001x 12 [Tome el log de cada
lado.]
(b) log 2 x log 4 x log 8 x 11 [Cambie los logaritmos
a la base 2.]
(c) 4 x 2 x1 3
[Escriba como una
cuadrática en 2 x .]
4.5 Modelado con funciones
exponenciales y logarítmicas
Muchos procesos que ocurren en la naturaleza, como el crecimiento poblacional, decaimiento
radiactivo, difusión de calor y muchos otros, se pueden modelar por medio
de funciones exponenciales. Las funciones logarítmicas se emplean en modelos para
la sonoridad del sonido, la intensidad de terremotos y muchos otros fenómenos. En
esta sección se estudian los modelos exponencial y logarítmico.
Modelos exponenciales de crecimiento
poblacional
Los biólogos han observado que la población de una especie duplica su tamaño en un
periodo fijo. Por ejemplo, en condiciones ideales cierta población de bacterias se duplica
en tamaño cada tres horas. Si el cultivo se inicia con 1000 bacterias, entonces
después de tres horas habrá 2000 bacterias, después de otras tres horas habrá 4000,
etcétera. Si n n1t2 es el número de bacterias después de t horas, entonces
n102 1000
n132 1000 # 2
n162 11000 # 22 # 2 1000 # 2
2
n192 11000 # 2 2 2 # 2 1000 # 2
3
n1122 11000 # 2 3 2 # 2 1000 # 2
4
De este patrón parece que el número de bacterias después de t horas se modela mediante
la función
n1t2 1000 # 2
t/3
En general, suponga que el tamaño inicial de una población es n 0 y el periodo
de duplicación es a. Entonces el tamaño de la población en el tiempo t se modela
mediante
n1t2 n 0 2 ct
donde c 1/a. Si se conociera el tiempo de triplicación b, entonces la fórmula sería
n1t2 n 0 3 ct donde c 1/b. Estas fórmulas indican que el crecimiento de bacterias