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700 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
Imágenes mediante computadora I
El álgebra de matrices es la herramienta fundamental que se usa en la computadora
para manipular imágenes en la pantalla. Vemos cómo la multiplicación de matrices
se puede usar para “mover” un punto en el plano hasta un lugar determinado. Al
combinar dichos movimientos podemos estirar, comprimir, girar y hacer otro tipo
de transformaciones en una figura, como vemos en las imágenes que siguen.
Imagen Comprimida Girada Alargamiento
d
Puntos que se desplazan en el plano
Representemos el punto 1x, y2 en el plano mediante la matriz 2 1:
Por ejemplo, el punto 13, 22 en la figura se representa con la matriz
P c 3 2 d 1x, y2 4
c x y d
y
1
0
1
(3, 2)
x
Al multiplicar por una matriz 2 2 el punto se mueve en el plano. Por ejemplo, si
entonces al multiplicar P por T tenemos
T c 1 0
0 1 d
TP c 1 0
0 1 d c 3 2 d c 3
2 d
y
1
0
1
T
x
(3, _2)
Vemos que el punto 13, 22 se desplazó al punto 13, 22. En general, la multiplicación
por esta matriz T refleja puntos en el eje x. Si cada uno de los puntos de una
imagen se multiplica por esta matriz, entonces la imagen completa cambia bruscamente
de arriba hacia abajo con respecto al eje x. La multiplicación matricial
“transforma” un punto en otro punto nuevo en el plano. Por esta razón, una matriz
usada de esta manera se llama transformación.
En la tabla 1 se proporcionan algunas transformaciones y sus efectos en el
cuadrado gris en el primer cuadrante.