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804 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
(_1, 2)
y
(1, 2)
y, por lo tanto, el punto (x, y) se mueve a lo largo de la parábola y 1 x 2 . Sin
embargo, puesto que 1 sen t 1, se tiene 1 x 1, de modo que las
ecuaciones representan sólo la parte de la parábola entre x 1 y x 1. Puesto
que sen t es periódica, el punto (x, y) (sen t, 2 cos 2 t) se mueve en vaivén de
manera infinita con frecuencia a lo largo de la parábola entre los puntos (1, 2)
y (1, 2) como se muestra en la figura 5.
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Hallar las ecuaciones paramétricas para una curva
0
x
A menudo es posible hallar las ecuaciones paramétricas para una curva por medio
de algunas propiedades geométricas que definen la curva, como en los dos ejemplos
siguientes.
Figura 5
y
6
0
Figura 6
t
2
3t
x
Ejemplo 5 Hallar las ecuaciones paramétricas
para una gráfica
Encuentre las ecuaciones paramétricas para la línea de pendiente 3 que pasa por
el punto (2, 6).
Solución Se inicia en el punto (2, 6) y se va hacia arriba y a la derecha a lo
largo de esta línea. Debido a que la línea tiene pendiente 3, por cada unidad que
se mueve a la derecha, se deben mover tres unidades hacia arriba. En otras palabras,
si se incrementa la coordenada x en t unidades, se debe incrementar de manera
correspondiente la coordenada y en 3t unidades. Esto conduce a las ecuaciones
paramétricas
x 2 t y 6 3t
Para confirmar que estas ecuaciones dan la línea deseada, se elimina el parámetro.
Se despeja t en la primera ecuación y se sustituye en la segunda para obtener
y 6 31x 22 3x
Así, la forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación de esta recta es y 3x,
que es la recta de pendiente 3 que pasa por (2, 6) como se requiere. La gráfica se
muestra en la figura 6.
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Ejemplo 6
Ecuaciones paramétricas para la cicloide
Cuando un círculo rueda a lo largo de una recta, la curva que traza un punto fijo P
sobre la circunferencia del círculo se llama cicloide (véase la figura 7). Si el círculo
tiene radio a y rueda a lo largo del eje x, con una posición del punto P en el origen,
encuentre las ecuaciones paramétricas para la cicloide.
P
P
P
Figura 7
Solución La figura 8 muestra el círculo y el punto P después que el círculo ha
rodado por un ángulo u (en radianes). La distancia d(O, T) que ha rodado el círculo
debe ser la misma que la longitud del arco PT, el cual, por la fórmula de la longitud
del arco, es au (véase la sección 6.1). Esto significa que el centro del círculo es
C(au, a).