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SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones 203
69. Tos Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza
a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba causando
un incremento de presión en los pulmones. Al mismo
tiempo la tráquea se contrae, y provoca que el aire expelido
se mueva más rápido e incremente la presión sobre el objeto
extraño. De acuerdo con el modelo matemático de toser, la
velocidad √ de la corriente de aire por la tráquea de una persona
de tamaño promedio se relaciona con el radio r de la
tráquea (en centímetros) mediante la función
√1r2 3.211 r2r 2 ,
Determine el valor de r para el cual √ es un máximo.
Descubrimiento • Debate
1
2 r 1
70. Máximos y mínimos En el ejemplo 5 se analizó una
situación del mundo real en la que el valor máximo de una
función es importante. Mencione otras situaciones cotidianas
en las que un valor máximo o mínimo es importante.
71. Minimizar una distancia Cuando se busca un valor mínimo
o máximo de una función, algunas veces se considera
más fácil trabajar con una función más simple.
a) Suponga que g1x2 1f1x2,
donde f1x2 0 para toda
x. Explique por qué los mínimos y máximos locales de
f y g ocurren en los mismos valores de x.
b) Sea g1x2 la distancia entre el punto 13, 02 y el punto
1x, x 2 2 sobre la gráfica de la parábola y x 2 . Exprese a
g como una función de x.
c) Encuentre el valor mínimo de la función g que encontró
en el inciso b). Use el principio descrito en el inciso a)
para simplificar su trabajo.
72. Máximo de un polinomio de cuarto grado Encuentre el
valor máximo de la función
[Sugerencia: sea t x 2 .]
f1x2 3 4x 2 x 4
2.6 Modelado con funciones
Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren entender
cómo varía una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia
de una cantidad en otra se llama modelado. Por ejemplo, un biólogo observa
que el número de bacterias en cierto cultivo se incrementa con el tiempo. Él
intenta modelar este fenómeno mediante la determinación de la función precisa (o
regla) que relaciona la población de bacterias con el tiempo transcurrido.
En esta sección se aprenderá cómo hallar modelos que se pueden construir con
propiedades geométricas o algebraicas del objeto bajo estudio. (La determinación
de modelos a partir de datos se estudia en la parte Enfoque en el modelado al final de
este capítulo.) Una vez que se encuentra el modelo, se emplea para analizar y predecir
propiedades del objeto o proceso bajo estudio.
Modelado con funciones
Empezaremos con una situación simple de la vida real que ilustra el proceso de modelado.
Ejemplo 1
Modelado del volumen de una caja
Una compañía productora de cereal fabrica cajas para empacar su producto. Por razones
estéticas, la caja debe tener las siguientes proporciones: su amplitud es tres
veces su profundidad y su altura es cinco veces su profundidad.
a) Halle una función que modele el volumen de la caja en términos de su profundidad.
b) Encuentre el volumen de la caja si su profundidad es 1.5 pulgadas.
c) ¿Para qué profundidad el volumen es 90 pulg 3 ?
d) ¿Para qué profundidad el volumen es mayor que 60 pulg 3 ?