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SECCIÓN 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 535
7.2 Fórmulas de adición y sustracción
En seguida derivaremos identidades de funciones trigonométricas de sumas y
diferencias.
Fórmulas de adición y sustracción
Fórmulas para el seno:
Fórmulas para el coseno:
Fórmulas para la tangente:
sen1s t2 sen s cos t cos s sen t
sen1s t2 sen s cos t cos s sen t
cos1s t2 cos s cos t sen s sen t
cos1s t2 cos s cos t sen s sen t
tan s tan t
tan1s t2
1 tan s tan t
tan s tan t
tan1s t2
1 tan s tan t
P⁄
y
s s+t Q⁄
t
■ Demostración de la fórmula de la adición en el caso del coseno
Para demostrar la fórmula cos1s t2 cos s cos t sen s sen t recurrimos a la
figura 1. En la figura, las distancias t, s t y s están señaladas en el círculo unitario
empezando en P 0 11, 02 y finalizando en Q 1 , P 1 y Q 0 , respectivamente. Las coordenadas
de estos puntos son
P 0 11, 02
Q 0 1cos1s2, sen1s22
Figura 1
O
P‚
_s
Q‚
x
P 1 1cos1s t2, sen1s t22
Q 1 1cos t, sent2
Puesto que cos1s2 cos s y sen1s2 sen s, se infiere que el punto Q 0 tiene las
coordenadas Q 0 1cos s, sen s2. Obsérvese que las distancias entre P 0 y P 1 y entre
Q 0 y Q 1 medidas a lo largo del arco del círculo son iguales. Como los arcos iguales
son subtendidos por cuerdas iguales, se infiere que d1P 0 , P 1 2 d1Q 0 , Q 1 2. Aplicando
la fórmula de la distancia obtenemos
23cos1s t2 14 2 3sen1s t2 04 2 21cos t cos s2 2 1sen t sen s2 2
Si elevamos al cuadrado ambos miembros y desarrollamos los cuadrados tenemos
____________ esto se añade a 1 ________
cos 2 1s t2 2 cos1s t2 1 sen 2 1s t2
cos 2 t 2 cos s cos t cos 2 s sen 2 t 2 sen s sen t sen 2 s
_________ esto se añade a 1 __________
_________ esto se añade a 1 _________
__
__
Al aplicar la identidad pitagórica sen 2 u cos 2 u 1 tres veces obtenemos
2 2 cos1s t2 2 2 cos s cos t 2 sen s sen t
Para terminar, restamos 2 de cada miembro y dividimos entre 2 ambos miembros:
cos1s t2 cos s cos t sen s sen t
lo cual demuestra la fórmula de la adición para el caso del coseno.
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