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840 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
Konrad Jacobs
Srinivasa Ramanujan (1887-1920)
nació en el seno de una familia
humilde en el pequeño poblado de
Kumbakonam, en la India. Aprendió
matemáticas en forma autodidacta,
y trabajó aislado virtualmente de los
otros matemáticos. A la edad de
25 años escribió una carta a G. H.
Hardy, el principal matemático británico
de esa época, en donde le
daba una lista de sus descubrimientos.
Hardy reconoció de manera inmediata
el genio de Ramanujan, y
durante los siguientes seis años trabajaron
juntos en Londres. Ramanujan
enfermó y regresó a su hogar
en la India, en donde murió un año
después. Ramanujan fue un genio
con una habilidad impresionante
para ver patrones ocultos en las
propiedades de los números. La
mayor parte de sus descubrimientos
está escrita en la forma de complicadas
series infinitas, la importancia
de las cuales se reconoció sólo
muchos años después de su muerte.
Durante el último año de vida
escribió 130 páginas de fórmulas
misteriosas, muchas de las cuales
todavía desafían a las demostraciones.
Hardy cuenta la historia de
que cuando visitó a Ramanujan en
un hospital, llegó en taxi, y remarcó
a Ramanujan que el número del
taxi, 1729, no era interesante. Ramanujan
replicó: “No, es un número
muy interesante. Es el número
más pequeño que se puede expresar
como la suma de dos cubos en
dos maneras diferentes.” (Véase
problema 23 de la página 144.)
Ejemplo 2
Determinación de los términos
de una sucesión geométrica
Encuentre el octavo término de la sucesión geométrica 5, 15, 45, . . .
Solución Para calcular una fórmula para el n-ésimo término de esta sucesión, se
necesita determinar a y r. Evidentemente, a 5. Para encontrar r, se calcula la razón
de dos términos consecutivos cualquiera. Por ejemplo, r 45
15 3. Por lo tanto,
a n 5132 n1
El octavo término es a 8 5132 81 5132 7 10 935. ■
Ejemplo 3
Determinación de una sucesión geométrica
63
1701
El tercer término de una sucesión geométrica es 4 , y el sexto término es 32 . Determine
el quinto término.
Solución Puesto que esta sucesión es geométrica, el n-ésimo término se obtiene
mediante la fórmula a n ar n1 . Por lo tanto,
A partir de los valores que conocemos para estos dos términos, obtenemos el siguiente
sistema de ecuaciones:
63
4 ar 2
u
1701
32 ar 5
Resolvemos el sistema dividiendo.
Al sustituir r en la primera ecuación, 4 ar 2 , obtenemos
Se infiere que el n-ésimo término de esta sucesión es
Por lo tanto, el quinto término es
Simplificación
Obtención de la raíz cúbica
de ambos miembros
Determinación de a
Sumas parciales de las sucesiones geométricas
En el caso de la sucesión geométrica a, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 ,...,ar n1 ,...,la suma parcial
n-ésima es
S n a
n
k1
a 3 ar 31 ar 2
a 6 ar 61 ar 5
ar 5 1701
ar 32
2
63
r 3 27 8
r 3 2
63
4
63
4 aA 3 2B 2
a 7
a n 7A 3 2B n1
a 5 7A 3 2B 51 7A 3 2B 4 567
16
ar k1 a ar ar 2 ar 3 ar 4 . . . ar n1
■