7nxQnvJSe

SECCIÓN 10.5 Rotación de ejes 785
Al sustituir estas expresiones en la ecuación original, se obtiene
a X 12 Y 12 ba X 12 Y 12 b 2
X 2
2 Y 2
2 2
X 2
4 Y 2
4 1
Se reconoce a ésta como una hipérbola con vértices (2, 0) en el sistema coordenado
XY. Sus asíntotas son Y X, que corresponden a los ejes coordenados en
el sistema xy (véase la figura 3).
Y
y
X
0
45*
x
Figura 3
xy 2
■
Ecuación general de una cónica
El método del ejemplo 2 se puede usar para transformar cualquier ecuación de la
forma
en una ecuación en X y Y que no contiene un término XY al elegir un ángulo de rotación
apropiado. Para hallar el ángulo que funciona, se hacen girar los ejes por un
ángulo f y se sustituyen x y y en las fórmulas de rotación de ejes:
Si se desarrolla la ecuación y se reúnen términos semejantes, se obtiene una ecuación
de la forma
donde
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
A1X cos f Y sen f2 2 B1X cos f Y sen f21X sen f Y cos f2
C1X sen f Y cos f2 2 D1X cos f Y sen f2
E1X sen f Y cos f2 F 0
A¿X 2 B¿XY C¿Y 2 D¿X E¿Y F¿ 0
A¿ A cos 2 f B sen f cos f C sen 2 f
B¿ 21C A2 sen f cos f B1cos 2 f sen 2 f2
C¿ A sen 2 f B sen f cos f C cos 2 f